Matemática e suas Tecnologias

Matemática



Matemática e suas Tecnologias
Livro do Professor
Ensino Fundamental e Médi
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Brasília
MEC/INEP
2003



Matemática
Matemática e suas Tecnologias
Livro do Professor
Ensino Fundamental e Médio
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Coordenação Geral do Projeto
Maria Inês Fini
Coordenação de Articulação de Textos do Ensino Fundamental
Maria Cecília Guedes Condeixa
Coordenação de Articulação de Textos do Ensino Médio
Zuleika de Felice Murrie
Coordenação de Texto de Área
Ensino Fundamental
Matemática



Célia Maria Carolino Pires
Ensino Médio
Matemática e suas Tecnologias
Maria Silvia Brumatti Sentelhas
Leitores Críticos
Área de Psicologia do Desenvolvimento
Márcia Zampieri Torres
Maria da Graça Bompastor Borges Dias
Leny Rodrigues Martins Teixeira
Lino de Macedo
Área de Matemática
Área de Matemática e suas Tecnologias
Eduardo Sebastiani Ferreira
Maria Eliza Fini
Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão
Diretoria de Avaliação para Certificação de Competências
(DACC)



Equipe Técnica
Maria Inês Fini – Diretora
Alessandra Regina Ferreira Abadio
Andréia Correcher Pitta
André Ricardo de Almeida da Silva
Augustus Rodrigues Gomes
Célia Maria Rey de Carvalho
David de Lima Simões
Denise Pereira Fraguas
Dorivan Ferreira Gomes
Érika Márcia Baptista Caramori
Fernanda Guirra do Amaral
Frank Ney Souza Lima
Ildete Furukawa
Irene Terezinha


Nunes de Souza Inacio
Jane Hudson Abranches
Kelly Cristina Naves Paixão
Marcio Andrade Monteiro
Marco Antonio Raichtaler do Valle
Maria Cândida Muniz Trigo
Maria Vilma Valente de Aguiar
Mariana Ribeiro Bastos Migliari
Nelson Figueiredo Filho
Suely Alves Wanderley
Teresa Maria Abath Pereira
Valéria de Sperandyo Rangel
Capa



Milton José de Almeida (a partir de desenhos de
Leonardo da Vinci)
Coordenação Editorial
Zuleika de Felice Murrie
© O MEC/INEP cede os direitos de reprodução deste material às Secretarias de Educação, que poderão reproduzi-lo respeitando a
integridade da obra.
M425 Matemática : matemática e suas tecnologias : livro do professor : ensino
fundamental e médio / Coordenação Zuleika de Felice Murrie . – Brasília :
MEC : INEP, 2002.
150p. ; 28cm.
ISBN 85-296-0033-9.
1. Matemática (Ensino fundamental). I. Murrie, Zuleika de Felice.
CDD 372.73
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SUMÁRIO
I. AS BASES EDUCACIONAIS DO ENCCEJA………………………………………………………….. …………………………………………………………..9
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I. As bases educacionais do ENCCEJA
Os brasileiros têm ampliado sua
escolaridade. É o que demonstra o Censo
2000, em recente divulgação feita pelo
Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE). O principal fato a
comemorar é a ampla freqüência às
escolas do nível fundamental que, no
ano 2000, acolhiam 94,9% das crianças
entre 7 e 14 anos. Pode-se afirmar,
portanto, que o Ensino Fundamental, no
Brasil, é quase universal para a faixa
etária prevista e correspondente. Além
disso, comparando-se dados de 1991 e
2000, há crescimento na freqüência



escolar em todos os grupos de idade.
Persiste, entretanto, um contingente
populacional jovem e adulto que carece da
formação fundamental. Segundo o referido
Censo, 31,2% da população brasileira com
mais de 10 anos de idade tem apenas até 3
anos de estudo; logo, cerca de um terço
dos brasileiros (mais de 50 milhões de
pessoas) não concluiu nem a primeira
parte do Ensino Fundamental. Esses
cidadãos que não tiveram possibilidades
de completar seu processo regular de
escolarização, em sua maioria, já são
adultos, inseridos ou não no mundo do
trabalho, e têm constituído diferentes
saberes, por esforço próprio, em resposta
às necessidades da vida. Nesse sentido,
assinala-se, nos termos da Lei, o direito a
cursos com identidade pedagógica própria
àqueles que não puderam completar a
alfabetização, mas que, ao pertencerem a
um mundo impregnado de escrita, se



envolveram, de alguma forma, em
práticas sociais da língua. É desse modo
que se pode entender que o analfabeto
possui um certo conhecimento das
linguagens, ao assistir a um telejornal
(que usa, em geral, a linguagem escrita,
oralizada pelos locutores), ao ditar uma
carta, ao apoiar-se numa lista mental de
produtos a serem comprados ou ao
reconhecer placas e outros sinais urbanos.
Evidencia-se, assim, a importância de
reconhecer, como ponto de partida, que o
estilo de vida nas sociedades urbanas
modernas não permite grau zero de
letramento.



Há uma possibilidade de “leitura do
mundo” em todas as pessoas, até para
aquelas sem nenhuma escolarização.
O Censo Escolar realizado pelo Inep



indica um total de 3.410.830 matrículas
em cursos de Educação de Jovens e
Adultos (EJA), em 1999. Desse total,
mais ou menos 1.430.000 freqüentam
cursos correspondentes ao segundo
segmento do ensino fundamental, de 5ª a
8ª série. Nesses cursos, encontra-se um
público variado e heterogêneo, uma
importante característica da EJA. Entre
eles, há uma parcela dos jovens de 15 a
17 anos de idade freqüentando a escola
e que, segundo o IBGE, representa quase
79% da população dessa faixa. Os demais
21%, por diversos motivos, mas
principalmente por pressões ou
contingências socioeconômicas,
deixaram precocemente o ambiente
escolar.
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Livro do Professor
1 Índice de Desenvolvimento Humano, indicador estabelecido pelo Programa de Desenvolvimento Humano da
UNESCO, que considera a esperança de vida ao nascer, o nível educacional e o PIB per capita.
2 Programa do governo federal de gerenciamento intensivo de ações e programas federais de infra-estrutura
social, de combate à exclusão social e à pobreza e de redução das desigualdades regionais pela melhoria das
condições de vida nas áreas mais carentes do Brasil.
Sendo dever dos poderes públicos e da
sociedade em geral oferecer condições
para a retomada dos estudos em salas
de aula, destinadas especificamente a
jovens e adultos, diversos projetos têm
sido desenvolvidos no âmbito do
governo federal. Para atender os
municípios do Norte e Nordeste com
baixo IDH1
, o Ministério da Educação
(MEC) é parceiro no Projeto Alvorada2
,



organizando o repasse de verbas a
Estados e Municípios. Em apoio ao
projeto, a Coordenadoria de Educação
de Jovens e Adultos (COEJA), da
Secretaria do Ensino Fundamental (SEF–
MEC), tendo como parceira a Ação
Educativa, organização não
governamental de reconhecida
experiência no campo de formação de
jovens e adultos, apresentou Proposta
Curricular para Educação de Jovens e
Adultos, 1º Segmento, que visa ao
programa Recomeço – Supletivo de
Qualidade. Além disso, em resposta às
demandas dos sistemas públicos
(estaduais e municipais) que aderiram
aos Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) em ação, a mesma COEJA
promoveu a formulação e vem
divulgando uma Proposta Curricular
para a EJA de 5ª a 8ª série,
fundamentada nos Parâmetros
Curriculares Nacionais desse segmento.
O Programa Alfabetização Solidária, por
sua vez, foi lançado em 1997 e relata a
alfabetização de 2,4 milhões de jovens



em 2001. Em 2002, encontra-se em
2.010 municípios. Caracteriza-se por ser
um trabalho de ação conjunta entre
diferentes parceiros, coordenados por
organização não governamental, e que
inclui universidades, estados,
municípios, empresas e até pessoas
físicas interessadas em colaborar.
Os objetivos desses programas ou
projetos são oferecer vagas e subsidiar
professores que trabalham com os
cidadãos que não puderam iniciar ou
concluir seus estudos em idade própria
ou não tiveram acesso à escola. Em
conjunto com diversas outras iniciativas
de organizações não governamentais
(ONGs), universidades ou outras formas
de associação civil respondem ao enorme
desafio de minimizar os efeitos da



exclusão do Ensino Fundamental,
fenômeno histórico em nosso país que
hoje está sendo superado na faixa etária
correspondente. Contudo, mais do que
em razão do número de alunos em salas
de aula (ainda pequeno, considerando-se
o enorme contingente de jovens e
adultos não-escolarizados), tais ações do
governo e da sociedade civil têm
oferecido educação aos cidadãos mais
afastados da cultura letrada, por viverem
em lugares quase isolados do nosso paíscontinente ou por estarem desenraizados
de sua cultura de origem, habitando as
periferias das grandes cidades.
Já nos primeiros artigos da Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional
(LDB), de 1996, valorizam-se a
experiência extra-escolar e o vínculo
entre a educação escolar, o mundo do
trabalho e a prática social.
Esse fato sinaliza o rumo que a



educação brasileira já vem tomando e
marca posição quanto ao valor do
conhecimento escolar, voltado para o
pleno desenvolvimento do educando,
seu preparo para o exercício da
cidadania, e sua qualificação para o
trabalho (Artigo 2). Essas orientações
são reiteradas em muitas outras partes
da mesma Lei, como nas diretrizes para
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I. As bases educacionais do ENCCEJA
os conteúdos curriculares da educação
básica, anunciadas no seu Artigo 27,
destacando-se a primeira delas, que
preconiza a difusão de valores
fundamentais ao interesse social, aos
direitos e deveres dos cidadãos, de
respeito ao bem comum e à ordem
democrática.



Ainda outros documentos do Ministério
da Educação, como os Parâmetros
Curriculares Nacionais, para os níveis
Fundamental e Médio, a Proposta
Curricular da EJA (5ª a 8ª série) e a
Matriz de Competências e Habilidades
do Exame Nacional do Ensino Médio
(ENEM), abordam o currículo escolar,
integrado por competências e
habilidades dos estudantes, ou norteado
por objetivos de ensino/aprendizagem,
em que os conteúdos escolares são
plurais e só têm sentido e significado se
mobilizados pelo sujeito do
conhecimento: o estudante. Pode-se
reconhecer, no conjunto desses
documentos e em cada um deles,
esforços coletivos por um melhor e
maior comprometimento da
comunidade escolar brasileira com um
novo paradigma pedagógico. Um
paradigma multifacetado, como
costuma acontecer com as tendências
sociais em construção, diverso em suas
nomenclaturas e que se vale de
numerosas pesquisas, em diferentes
campos científicos, muitas ainda em
fase de produção e consolidação.



Esse rico cenário acadêmico precisa
ainda ser mais eficazmente disseminado
no ambiente complexo e plural da
educação brasileira. Mesmo assim, o
conjunto dos documentos que
estruturam e orientam a Educação
Básica no Brasil é coeso em seus
propósitos e conceitos centrais: a
difusão dos valores de justiça social e
dos pressupostos da democracia, o
respeito à pluralidade, o crédito à
capacidade de cada cidadão de ler e
interpretar a realidade, conforme sua
própria experiência.
Respondem por um paradigma, com
lastro nos legados de Jean Piaget e
Paulo Freire, verificando-se, com eles,
que é necessário disseminar as
pedagogias que buscam promover o
desenvolvimento da inteligência e a
consciência crítica de todos os



envolvidos no processo educativo,
tendo, na interação social e no diálogo
autêntico, o mais importante
instrumento de construção do
conhecimento. Um paradigma com
denominações variadas, pois usufrui de
diferentes vertentes teóricas, mas com
algo em comum: a crítica à tradição do
currículo enciclopédico, centrado em
conhecimentos sem vínculo com a
experiência de vida da comunidade
escolar e na crença de que a aquisição
do conhecimento dispensa o exercício
da crítica e da criação por parte de
quem aprende. Mas é ess
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Livro do Professor
(DCNEJA). Por outro lado, recomendase que o estudante da EJA, com a
maturidade correspondente, deva
encontrar, nos cursos e nos exames
dessa modalidade, oportunidades para
reconhecer e validar conhecimentos e
competências que já possui. A mesma
Diretriz prevê a importância da
avaliação na universalização da
qualidade de ensino e certificação de
aprendizagem, ao apontar que os
exames da EJA devem primar pela
qualidade, pelo rigor e pela adequação.
A proposta do Exame Nacional de
Certificação de Competências de Jovens
e Adultos (ENCCEJA) busca satisfazer
esses fundamentos político-pedagógicos,
expressos de forma mais abrangente na
Lei maior da educação brasileira, e, de
modo mais detalhado ou com ênfases
especiais, nas Diretrizes, Parâmetros e
outros referenciais que a contemplam,
inclusive, o Documento Base do Exame
Nacional do Ensino Médio (ENEM).
Com base na experiência dos
especialistas e nesses documentos,
buscou-se identificar conteúdos e
métodos para a construção de um
quadro de referências atualizado e
adequado ao Encceja. Um dos



resultados do processo são as Matrizes
de Competências e Habilidades, em
nível de Ensino Fundamental e em nível
de Ensino Médio.
As Matrizes de Competências e
Habilidades constituem referencial de
exames mais significativos para o



participante jovem ou adulto, mais
adequados às suas possibilidades de ler
e de interagir com os problemas
cotidianos, com o apoio do



conhecimento escolar.
Embora que não seja possível, em âmbito
nacional, prever a enorme gama de
conhecimentos específicos estruturados
em meio à vivência de situações
cotidianas, procurou-se levar em
consideração que o processo de
estruturação das vivências possibilita
aquisições lógicas de pensamento que são
universais para os jovens e adultos e que
se, de um lado, devem ser tomadas como



ponto de partida nas diversas
modalidades de ofertas de ensino para
essa população, de outro, devem
participar do processo de avaliação para
certificação.
Desse modo, objetivou-se superar a
concepção de estruturação de provas
fundamentadas no ensino enciclopedista,
centradas em conteúdos fragmentados e
descontextualizados, quase sempre
associados ao privilégio da memória sobre
o estabelecimento de relações entre
idéias. Ainda que se reconheça o
inequívoco papel da memória para o
conhecimento de fenômenos, das etapas
dos processos, ou mesmo, de teorias, é
preciso considerar, nas referências de
provas, bem como na oferta de ensino, as
múltiplas capacidades de operar com
informações dadas. Ou seja, está-se
valorizando a autonomia do estudante em
ler informações e estabelecer relações a
partir de certos contextos e situações. E,



assim, o exame sinaliza e valoriza um
cidadão mais apto a viver num mundo em
constantes transformações, onde é
importante possuir estratégias pessoais e
coletivas para a solução de problemas,
fundamentadas em conhecimentos
básicos de todas as disciplinas ou áreas da
educação básica.
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I. As bases educacionais do ENCCEJA
O processo de elaboração das Matrizes



de Competências e Habilidades do
ENCCEJA, Fundamental e Médio, teve
como meta principal garantir uma
proposta de continuidade e coerência
entre o que se estabeleceria para os
exames em nível de Ensino Médio ou
Fundamental. Dessas etapas resultaram
a definição das quatro áreas dos exames
e um conjunto de proposições para cada
uma delas, que foram também
reconsideradas à luz das Diretrizes
Curriculares Nacionais da EJA
(DCNEJA), das políticas educacionais
vigentes em âmbito federal e nas
propostas estaduais, a fim de organizar
os quadros de referência dos exames.
As Matrizes de referência para a prova de
cada área ou disciplina foram organizadas
em torno de nove competências amplas,
por sua vez desdobradas em habilidades
mais específicas, resultantes da
associação desses conteúdos gerais às



cinco competências do ENEM. As



competências já definidas para o ENEM
correspondem aos eixos cognitivos
básicos, a ações e operações mentais que
todos os jovens e adultos devem
desenvolver como recursos mínimos que
os habilitam a enfrentar melhor o mundo



que os cerca, com todas as suas
responsabilidades e desafios.
Nas Matrizes do ENCCEJA, os conteúdos
tradicionais das ciências, da arte e da
filosofia são denominados competências
de área, à semelhança dos conceitos já
consagrados na reforma do ensino
médio, porque já demonstram aglutinar
articulações de sentido e significação,



superando o mero elenco de conceitos e
teorias. Essas competências, em cada
área, foram submetidas ao tratamento
cognitivo das competências do sujeito
do conhecimento e permitiram a
definição de habilidades específicas, que
estabelecem as ações ou operações que



descrevem desempenhos a serem
avaliados nas provas. Nessa concepção,
as referências de cada área descrevem as
interações mais abrangentes ou
complexas (nas competências) e as mais
específicas (nas habilidades) entre as
ações dos participantes, que são os
sujeitos do conhecimento, com os
conteúdos disciplinares, selecionados e
organizados a partir dos referenciais
adotados.
Para a elaboração das competências do
Ensino Médio, foram consideradas as
competências por área, definida pelas






Diretrizes do Ensino Médio. Constituiuse um importante desafio à elaboração
das matrizes do ENCCEJA para o Ensino
Fundamental, especificamente no que
diz respeito à definição das
competências gerais das áreas. Isso
porque, para o Ensino Fundamental, os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
e as Diretrizes Curriculares Nacionais
trazem outra abordagem, não tendo
incorporado a discussão mais recente,
que visa à determinação de
competências e habilidades de
aprendizagem como produto da
escolarização, ainda que preservem e
ampliem consideravelmente outros
elementos didático-pedagógicos do
mesmo paradigma.
Os documentos legais permitiram
construir matrizes semelhantes para o



ENCCEJA – Ensino Fundamental, apesar
de oferecerem contribuições distintas
para a configuração das competências e



habilidades a serem avaliadas.
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Livro do Professor



A. A PROPOSTA DO ENCCEJA
PARA A CERTIFICAÇÃO DO



ENSINO FUNDAMENTAL
Considerando-se a população que não
completou seus estudos do nível
fundamental, é possível aventar a
existência de significativo número de



pessoas desejosas de recuperar o
reconhecimento social da condição
letrada, obtendo certificação de
conhecimentos por meio de Exame
Supletivo do Ensino Fundamental.
Essas pessoas, tendo-se afastado da
escola há bastante tempo ou mesmo
tendo retomado estudos parciais de
forma esporádica, continuaram
aprendendo pela prática de leitura e



análise de textos escritos, de cálculos e
outros estudos em situações específicas
de seu interesse. Participam de meios



informais, eventuais, ou mesmo,
incidentais de educação com diferentes
propósitos. Por exemplo, em cursos
oferecidos por empresas para capacitação
de pessoal, em grupos de estudo






comunitários, ou mesmo através de
programas educativos na TV, no rádio
ou outras mídias. Assim, são capazes de
leitura autônoma para efeito de lazer,
demandas do exercício da cidadania ou
do trabalho. Desse modo, lêem revistas
esportivas e folhetos de instrução
técnica, programas de candidatos a
cargos eletivos e publicações vendidas
em banca de jornal que dão instruções
para a realização de muitas atividades.
Além disso, calculam para fins de



compra e venda, analisam situações de
qualidade de vida (ou sua carência).
Logo, já são leitores do mundo,
superaram um estágio de decifração de
códigos da língua materna, ao qual
pertence um número maior de
brasileiros. Esses jovens e adultos, já



trabalhadores com experiência
profissional, leitores, participantes de
vias informais da educação, com
expectativa de melhor posicionamento



no mercado de trabalho e/ou da
retomada dos estudos em nível médio,
precisam ter reconhecidos e validados
os seus conhecimentos. Para eles, foi
elaborado o Encceja, correspondente ao
nível fundamental.
Tendo a LDB diminuído a idade mínima
para a certificação por meio de exames
supletivos, instalou-se uma questão
contraditória na educação nacional, pois
é supostamente desejável a
permanência dos jovens de 15 anos na
escola, a fim de desenvolver suas
capacidades e compartilhar
conhecimentos, com o apoio e a
mediação da comunidade escolar.
Entretanto, alguns precisaram
interromper os estudos por motivos



contingenciais e financeiros, por
mudança de domicílio ou para ajudar a
família, entre outros motivos. Além
disso, como já apontado nas Diretrizes
Curriculares Nacionais para Educação de
Jovens e Adultos (DCNEJA), há aqueles
que, mesmo tendo condições
financeiras, não lograram êxito nos
estudos, por razões de caráter
sociocultural. Para esses jovens, a
certificação do Ensino Fundamental por
meio do ENCCEJA significa a
possibilidade de retomar os estudos no
mesmo nível que seus coetâneos, não



sofrendo outras penalidades além
daquelas já impostas por suas condições
de vida até então.
As Diretrizes do Ensino Fundamental
contribuem diretamente para a seleção de
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I. As bases educacionais do ENCCEJA
conteúdos a serem avaliados pelo
ENCCEJA de, pelo menos, duas maneiras.
Primeiramente, ao esclarecer a natureza
dos conteúdos mínimos referentes às
noções e conceitos essenciais sobre
fenômenos, processos, sistemas e
operações que contribuem para a
constituição de saberes, conhecimentos,
valores e práticas sociais indispensáveis
ao exercício de uma vida de cidadania
plena, e, depois, ao recomendar: ao
utilizar os conteúdos mínimos, já
divulgados inicialmente pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais, a serem ensinados
em cada área de conhecimento, é
indispensável considerar, para cada
segmento (Educação Infantil, 1ª a 4ª e 5ª a
8ª séries), ou ciclo, que aspectos serão
contemplados na intercessão entre as
áreas e aspectos relevantes da cidadania,
tomando-se em conta a identidade da
escola e de seus alunos, professores e
outros profissionais que aí trabalham.
Decorre que também a EJA do
Fundamental deve considerar os aspectos
próprios da identidade do jovem e adulto
que retoma a escolarização, tanto para
efeito de cursos, como para exames. Por
outro lado, corrobora a referência aos
conteúdos (conceitos, procedimentos,
valores e atitudes) debatidos nos PCN de
5ª a 8ª série (subsidiários à Proposta
Curricular da EJA), na escolha dos
conteúdos do Encceja do Ensino
Fundamental.
A segunda linha de contribuições reside
no levantamento do rol de aspectos da
vida cidadã que devem estar articulados
à base nacional comum, quais sejam: a
saúde, a sexualidade, a vida familiar e
social, o meio ambiente, o trabalho, a
ciência e a tecnologia, a cultura e as
linguagens. Ressalte-se que esses
aspectos guardam evidente proximidade
com os Temas Transversais,
desenvolvidos no PCN do Ensino
Fundamental: Ética, Meio Ambiente,
Saúde, Orientação Sexual, Trabalho e
Consumo, e Pluralidade Cultural.
Com os mesmos propósitos, estudaram-se
também os textos da V Conferência
Internacional sobre Educação de
Adultos, com uma orientação temática
de mesma natureza que os PCN e DCN
do Ensino Fundamental. Isso pode ser
exemplificado pela menção especial dos
temas I, IV e VI.
I- Educação de adultos e democracia: o
desafio do século XXI. desafio do século desafio do século XXI. Alguns
compromissos desse tema: desenvolver
participação comunitária, favorecendo
cidadania ativa; sensibilizar com relação
aos preconceitos e à discriminação no
seio da sociedade; promover uma cultura
da paz, o diálogo intercultural e os
direitos humanos;
IV- A educação de adultos, igualdade e
eqüidade nas relações entre homem e
mulher e a maior autonomia da
mulher. mulher. Esse tema mulher. tem como um dos
compromissos promover a capacitação
e autonomia das mulheres e a igualdade
dos gêneros pela educação de adultos,
entre outros.
VI- A educação de adultos em relação
ao meio ambiente, à saúde e à
população. população. Esse população. tema tem como
compromissos promover a capacidade e
a participação da sociedade civil em
responder e buscar soluções para os
problemas de meio ambiente e de
desenvolvimento, estimular o
aprendizado dos adultos em matéria de
população e de vida familiar, reconhecer
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Livro do Professor
o papel decisivo da educação sanitária na
preservação e melhoria da saúde pública
e individual, assegurar a oferta de
programas de educação adaptados à
cultura local e às necessidades
específicas, no que se refere à atividade
sexual.
Todas essas recomendações foram
consideradas para a seleção de valores e
conceitos integrados às competências e
habilidades organizadoras do Encceja do
Ensino Fundamental. Já para a definição
do escopo e redação das competências
das áreas e disciplinas, consideraram-se
especialmente os objetivos gerais para
ensino e aprendizagem delineados na
Proposta Curricular da EJA (5ª a 8ª série)
de Matemática, Língua Portuguesa,
Ciências Naturais, História e Geografia,
e os objetivos gerais de todo o Ensino
Fundamental dos PCN e dos Temas
Transversais.
Assim, foram constituídas as referências
para as provas de:
1- Língua Portuguesa, Artes, Língua
Estrangeira e Educação Física, sendo as
três últimas áreas de conhecimento
consideradas sob a ótica da constituição
das linguagens e códigos, não como
conteúdos conceituais isolados para
avaliação;
2- Matemática;
3- História e Geografia;
4- Ciências Naturais.
A Matriz para o Encceja concorre para a
promoção de provas que dêem
oportunidade para jovens e adultos
aproveitarem o que aprenderam na vida
prática, trabalhando com aspectos básicos
da vida cidadã, como a tomada de
decisões e a identificação e resolução de
problemas, a descrição de propostas e a
comparação entre idéias expressas por
escrito, considerando valores e direitos
humanos. Tais ações ou operações do
participante estão representadas na matriz
do Encceja, nas diferentes habilidades.
Não se deve supor, contudo, que uma
prova organizada a partir de habilidades
(articulações entre operações lógicas com
conteúdos relevantes) negligencie as
exigências básicas de conteúdos mínimos
e a capacidade de ler e escrever.
Para o participante da prova, é
imprescindível a prática autônoma da
leitura, que possibilita a percepção de
possíveis significados e a construção de
opiniões e conhecimentos ao ler um texto,
um esquema ou outro tipo de figura.
Espera-se, de fato, que o jovem e o
adulto, ao certificarem-se com a
escolaridade fundamental pelo Encceja,
já estejam lendo autonomamente, com
certa fluência, a partir de sua experiência
com textos diversos, em situações em
que faça sentido ler e escrever. Cabe a
eles construir os sentidos de um texto,
ao colocar em diálogo seus próprios
conhecimentos de mundo e de língua,
como usuários dela, e as pistas do texto,
oferecidas pelo gênero, pela situação de
comunicação e pelas escolhas do autor:
Nessa perspectiva, entende-se que ler não é
extrair informação, decodificando letra por
letra, palavra por palavra. Trata-se de uma
atividade que implica estratégias de seleção,
antecipação, inferência e verificação, sem as
quais não é possível proficiência. É o uso desses
procedimentos que possibilita controlar o que
vai sendo lido, permitindo tomar decisões
diante de dificuldades de compreensão,
avançar na busca de esclarecimentos, validar
no texto suposições feitas.
(Brasil, c2000, v. 2, p. 69, 7º parágrafo)
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I. As bases educacionais do ENCCEJA
Devem-se considerar, entretanto,
diferentes níveis de proficiência na
leitura dos códigos e linguagens que
constituem as informações da realidade.
A meio termo da formação básica, na
conclusão do Ensino Fundamental, os
textos lidos ou formulados pelo
estudante da EJA já evidenciam uma
visão de mundo um tanto complexa,
ainda que expressa em discurso mais
sintético, mais direto, com muitos
nomes do cotidiano preservados e
elementos do senso comum, se
comparados com produções do
estudante em nível de Ensino Médio.
É a partir dessas concepções de leitura
que as provas são elaboradas, como
possibilidades de abordagem pedagógica
das competências e habilidades do
Encceja na avaliação para certificação.
Para tanto, os textos oferecidos em
questões de prova são rigorosos do ponto
de vista conceitual, ao observarem os
marcos teóricos de referência em cada
área de conhecimento. Contudo, procurase delimitar cuidadosamente a diversidade
do vocabulário utilizado, além da
magnitude da rede conceitual empregada
e das operações lógicas exigidas. Isso
porque o participante precisa de situações
adequadas para estabelecer relações mais
abrangentes e mais próximas das teorias
científicas. Não se pode perder de vista
que, em nível fundamental, ele necessita
de orientação clara e concisa, além de um
tempo maior para a observação das
representações de fenômenos, para as
comparações, as análises, a produção de
sínteses ou outros procedimentos.
Com esses cuidados, é desejável propor
aos jovens e adultos uma variedade de
questões, envolvendo temas das áreas de
conhecimento, sempre explicitando
conceitos mais complexos e
problematizando-os para que, por meio
da reflexão própria, ele reconheça o que
já sabe e estabeleça conexões com o
conhecimento novo apresentado. Assim,
para enfrentar situações-problema, são
mobilizados elementos lógicos
pertinentes ao raciocínio científico e
também ao cotidiano, podendo explorar
interações entre fatos e/ou idéias, para
entre eles estabelecer relações causais,
espaço-temporais, de forma e função, ou
seqüenciando grandezas.
Não se pode perder de vista, tampouco, o
exercício simplificado da metacognição
por parte daqueles que pouco
freqüentaram a escola. Não é de se esperar
que possam raciocinar com desenvoltura
sobre a estrutura do conhecimento em si,
uma qualidade intelectual daqueles que
freqüentaram a escola (Oliveira, 1999).
Respeitar essa característica representa
uma exigência para a formulação de uma
prova em que se reconhecem as
possibilidades intelectuais dos cidadãos
que não tiveram oportunidade de exercitar
a compreensão dos objetos de
conhecimento descontextualizada de suas
ligações com a vida imediata.
Portanto, sem perder de vista a
pluralidade das realidades brasileiras e a
diversidade daqueles que buscam a
certificação nesse nível de ensino,
propõe-se uma prova que apresenta uma
temática atualizada, em nível pertinente
aos jovens e adultos que, para realizá-la,
se inscrevem. Deve representar um
desafio consistente, mas possível,
exeqüível e motivador, para que os
participantes exercitem suas
potencialidades lógicas e sua capacidade
crítica em questões de cidadania,
reconhecendo e formulando valores
essenciais à cultura brasileira, ao convívio
democrático e ao desenvolvimento
pessoal.
Matem∙tica 9-38.pmd 17 11/7/2003, 09:21
18
Livro do Professor
B. A PROPOSTA DO ENCCEJA
PARA CERTIFICAÇÃO
DO ENSINO MÉDIO
Pode-se afirmar que são múltiplos e
diversos os fatores que estimulam a
busca de certificação do ensino médio na
Educação de Jovens e Adultos.
Dentre eles, destaca-se a exigência do
mundo do trabalho, pois, atualmente, a
necessidade da certificação no ensino
médio se faz presente em diferentes
atividades e setores profissionais.
Ressaltam-se, também, os fatores
pessoais da busca do cidadão pela
certificação: a vontade de continuar os
estudos e a vontade política de obter o
direito da cidadania plena. Esses
aspectos são mais significativos do
ponto de vista daqueles que discutem a
Educação de Jovens e Adultos para
certificação no ensino médio. Ela é
direcionada para jovens e adultos com
mais de dezenove anos que, por motivos
diversos, não puderam freqüentar a
escola no seu tempo regular.
Tal fato é previsto na LDB 9.394/96
quando considera o ensino médio como
etapa final da educação básica e a EJA
como uma das modalidades de
escolarização. O direito político
subjetivo do cidadão de completar essa
etapa e, por sua vez, o dever de oferta
educacional pública que permita superar
as diferenças e aponte para uma
eqüidade possível são princípios que
não podem ser relegados, como afirma
o Parecer da Câmara de Educação
Básica do Conselho Nacional de
Educação – Parecer CNE/CEB 11/2000,
Diretrizes Curriculares Nacionais para a
Educação de Jovens e Adultos:
Desse modo, a função reparadora da EJA,
no limite, significa não só a entrada no
circuito dos direitos civis pela restauração
de um direito negado: o direito a uma
escola de qualidade, mas também o
reconhecimento daquela igualdade
ontológica de todo e qualquer ser humano.
Desta negação, evidente na história
brasileira, resulta uma perda: o acesso a
um bem real, social e simbolicamente
importante. Logo, não se deve confundir a
noção de reparação com a de suprimento.
É muito provável que, com as elevadas
taxas de repetência e evasão nas últimas
décadas do século XX, muitos alunos
que não tiveram sucesso no sistema
educacional regular optem por essa
modalidade de ensino. Soma-se a esse
fato o difícil acesso à escola básica por
motivos socioeconômicos diversos.
Segundo o IBGE, em 1999, havia cerca
de 13,3% de analfabetos acima de 15
anos. Em 2000, a distorção idade/série,
no ensino médio, de acordo com dados
do MEC/INEP, é da ordem de 50,4%. No
mesmo ano, os dados registram,
aproximadamente, 3 milhões de alunos
matriculados em
19
I. As bases educacionais do ENCCEJA
importância da avaliação e certificação
nessa modalidade de ensino. De acordo
com o Art. 10 da Resolução CNE/CEB 1/
2000, que estabelece as diretrizes
curriculares nacionais para a Educação
de Jovens e Adultos: no caso de cursos
semi-presenciais e a distância, os alunos
só poderão ser avaliados, para fins de
certificados de conclusão, em exames
supletivos presenciais oferecidos por
instituições especificamente autorizadas,
credenciadas e avaliadas pelo poder
público, dentro das competências dos
respectivos sistemas…
O Exame Nacional de Certificação de
Competências de Jovens e Adultos do
Ensino Médio (ENCCEJA/EM) está
articulado tanto para atender a essa
prerrogativa quanto para responder à
demanda, em sintonia com a lógica da
avaliação nacional. Nesse sentido, o
Encceja/EM constitui uma possibilidade
de avaliação que, ao mesmo tempo,
respeita a diversidade e estabelece uma
unidade nacional, ao apontar o que é
basicamente requerido para a
certificação no ensino médio que faz
parte atualmente da educação básica.
A Constituição de 1988, no Inciso II do
Art. 208, já apontava para a garantia da
institucionalização dessa etapa de
escolarização como direito de todo
cidadão. A LDB estabeleceu, por sua vez,
a condição em norma legal, quando
atribuiu ao EM o estatuto de educação
básica (Art. 21), definindo suas
finalidades, ou seja, desenvolver o
educando, assegurar-lhe a formação
comum para o exercício da cidadania e
fornecer-lhe meios para progredir no
trabalho e em estudos posteriores. (Art.
22)
Por sua vez, o Art. 4º da Resolução
CNE/CEB 1/2000 diz que as Diretrizes
Curriculares Nacionais (DCN),
estabelecidas na Resolução CNE/CEB 3/98
e vigentes a partir da sua publicação, se
estendem para a modalidade da
Educação de Jovens e Adultos no
ensino médio, sua organização e
processos de avaliação.
A direção curricular proposta pelas
DCN-EM destaca o desenvolvimento de
competências e habilidades distribuídas
em áreas de conhecimento: Linguagens,
Códigos e suas Tecnologias, Ciências
Humanas e suas Tecnologias, Ciências da
Natureza e Matemática e suas
Tecnologias. O caráter interdisciplinar
das áreas está relacionado ao contexto
de vida social e de ação solidária,
visando à cidadania e ao trabalho.
Vale a pena lembrar que a LDB é a base
das DCNEM. No Art. 36, a LDB destaca
que o currículo do ensino médio deve
observar as seguintes diretrizes: a
educação tecnológica básica; a
compreensão do significado da ciência,
das letras e das artes; o processo
histórico de transformação da sociedade
e da cultura; a língua portuguesa como
instrumento de comunicação, acesso ao
conhecimento e exercício da cidadania.
Além disso, dois aspectos merecem
menção especial, pois marcam a
diferença em relação à organização
curricular do ensino médio: o eixo da
tecnologia e dos processos cognitivos
de compreensão do conhecimento.
Assim, a caracterização das áreas procura
ser uma forma de estabelecer relações
internas e externas entre os
conhecimentos, de abordá-los sob o
ângulo das correspondências próprias à
sua divulgação para o público que
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20
Livro do Professor
necessita dos saberes escolares para a
vida social, o trabalho, a continuidade
dos estudos e o desenvolvimento pessoal.
A definição na LDB do que é próprio aos
ensinos fundamental e médio não é
colocada como forma de ruptura, mas sim
de aprofundamento (compreensão) e
contexto (produção e tecnologia). Se, no
ensino fundamental, o caráter básico dos
saberes sociais públicos foi desenvolvido,
cabe, no ensino médio, aprofundá-los ou,
então, desenvolvê-los. Essa consideração,
para EJA/EM, se deve ao fato de que a
certificação no ensino médio não está, por
lei, atrelada à certificação no ensino
fundamental, havendo, no entanto, uma
continuidade entre as duas etapas da
educação básica. De qualquer forma, ao
término do EM, espera-se que o cidadão
tenha desenvolvido competências
cognitivas e sociais inseridas em um
determinado sistema de valores e juízos,
ou seja, aquele referente à ética e ao
mundo do trabalho.
No caso do público participante da EJA/
EM, isso se torna mais evidente. A
idade, a participação no mundo do
trabalho, as responsabilidades sociais e
civis são outras, diferentes daquelas dos
alunos da escola regular que se
preparam para a vida. O público da EJA/
EM está na vida atuando como
trabalhador, pai de família, provedor.
Entretanto, se o ponto de partida é
diferente, o ponto de chegada não o é.
Ao final do EM, espera-se que esse
público possa dar continuidade aos
estudos com qualificação, disputar uma
posição no mercado de trabalho e
participar plenamente da cidadania,
compartilhando os princípios éticos,
políticos e estéticos da unidade e da
diversidade nacionais, colocando-se
como ator no contexto de preservação e
transformação social.
A noção de desenvolvimento e
avaliação de competências pode
permitir alguma compreensão desse
processo de diversidade e unidade.
O foco sobre a noção de competência,
nos documentos oficiais referentes à
educação básica e no discurso
acadêmico educacional, principalmente
a partir de 1990, instaura um eixo para
reestruturação dos conteúdos escolares
e de suas formas de transmissão e
avaliação, ou seja, é uma proposta de
mudança que procura aproximar a
educação escolar da vida social
contemporânea. Nessa proposta,
destaca-se a perspectiva da
flexibilização da organização da
educação escolar, em respeito à
diversidade e identidade dos sujeitos da
aprendizagem. Quais são as
competências comuns que devem ser
socializadas para todos? A resposta a
essa pergunta fundamenta a educação
básica. Em seqüência, há outra questão
não menos relevante: como avaliá-las?
O respeito à diversidade não deve ser
identificado com o caos. Daí, a
necessidade da responsabilização
política e institucional em traçar um fio
condutor que delimite os saberes e as
competências gerais com os quais todo
e qualquer processo deve comprometerse, principalmente o de avaliação.
As diretrizes legais para a organização
da educação básica estão expressas em
um conjunto de princípios que indica a
transição de um ensino centrado em
conteúdos disciplinares (didáticos)
seriados e sem contexto para um ensino
voltado ao desenvolvimento de
competências verificáveis em situações
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21
I. As bases educacionais do ENCCEJA
específicas. A avaliação assume um
papel fundamental nessa perspectiva,
definindo o sentido da escolarização.
A ação prevista pelos sujeitos envolvidos
na educação básica extrapola
determinados padrões de pensamento até
então valorizados pela escolarização
acrítica (identificar, reproduzir,
memorizar, repetir) e aponta para a
necessidade de a escola sistematicamente
realizar, em situações de aprendizagem, o
desenvolvimento de movimentos de
pensamento mais complexos (analisar,
comparar, confrontar, sintetizar). Tal
proposição, amparada pelos estudos da
Psicologia Cognitiva, Sociologia,
Lingüística, Antropologia, exerce um
efeito de reestruturação na Didática. O
saber, que por si só já é ação do sujeito,
ganha o status de uma intenção racional e
intelectual situada socialmente. O sujeito
desse saber é compreendido como um ser
único no contexto social. O saber fazer
envolve o conhecimento do contexto, das
ideologias e de sua superação, em prol de
uma democracia desejada, para que o
homem possa conquistar de fato seus
direitos.
O poder público e a administração
central assumem a responsabilidade de
indicar a formação requerida para os
sujeitos na educação básica, na
modalidade de EJA/EM, e mais,
propõem formas de avaliação das
aprendizagens.
A avaliação é assumida como diálogo
com a sociedade, garantindo o direito
democrático da população interessada em
saber o que de fato deve ser aprendido (e
aquilo que deveria ter sido aprendido),
para que possa compreender a função do
processo educativo e exigir os direitos de
uma educação de qualidade para todos.
Educação básica e avaliação, portanto,
têm por objetivo promover a eqüidade na
participação social.
A proposta do ENCCEJA para certificação
do Ensino Médio assume parte desse
papel institucional, procurando, por meio
de uma prova escrita, aferir, em condições
observáveis e com exigências definidas,
as competências previstas para a
educação básica.
O foco do ENCCEJA é a situaçãoproblema para cuja resolução o
participante deve mobilizar saberes
cognitivos e conceituais (competências).
A aprendizagem é destacada como
referência à autonomia intelectual do
sujeito ao final da educação básica,
mediada pelos princípios da cidadania e
do trabalho, na atualidade. As
competências para a participação social
incluem a criatividade, a capacidade de
solucionar problemas, o senso crítico, a
informação, ou seja, o aprender a
conhecer, a fazer, a conviver e a ser.
A Matriz de Competências indicada para
a avaliação do ENCCEJA/EM é um
produto de discussão coletiva de
inúmeros profissionais da educação,
buscando contemplar os princípios
legais que regem a educação básica
(Brasil,1999a; Brasil,1996; CNE, 1998;
CNE, 2000).
O ENCCEJA/EM está estruturado com
base em Matrizes de referência que
consideram a associação de cinco
competências do sujeito com nove
competências previstas na Base
Nacional Comum para as áreas de
conhecimento (Linguagens, Códigos e
suas Tecnologias; Ciências Humanas e
suas Tecnologias; Ciências da Natureza
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22
Livro do Professor
e Matemática e suas Tecnologias), cujos
cruzamentos definem as habilidades a
serem avaliadas. As competências
cognitivas básicas a serem avaliadas
são: o domínio das linguagens, a
compreensão dos fenômenos, a seleção
e organização de fatos, dados e
conceitos para resolver problemas, a
argumentação e a proposição.
Essas competências cognitivas são
articuladas com os conhecimentos e
competências sociais construídos e
requeridos nas diferentes áreas, tendo
por referência os sujeitos/interlocutores
da aprendizagem que se apropriam dos
conhecimentos e os transpõem para a
vida pessoal e social. No elenco das
habilidades de cada área, estão
valorizadas as experiências extraescolares e os vínculos entre a educação,
o mundo do trabalho e outras práticas
sociais, de tal maneira que o exame,
estruturado a partir das matrizes, não
perca de vista a pluralidade de realidades
brasileiras e não deixe de considerar a
diversidade de experiências dos jovens e
adultos que a ele se submetem.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Constituição (1988). Constituição da República Federativa do Brasil:
promulgada em 5 de outubro de 1988: atualizada até a Emenda Constitucional nº 20,
de 15/12/1988. 21. ed. São Paulo: Saraiva, 1999a.
______. Lei n° 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as Diretrizes e Bases
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Executivo, Brasília, DF, v. 134, n. 248, p. 27.833-27.841, 23 dez. 1996. Seção 1. Lei
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BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais. 2. ed. Brasília, DF, c2000. 10 v.
______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Língua Portuguesa. 2.ed. Brasília, DF, :
2000. v. 2.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação a Distância. Educação de
Jovens e Adultos: salto para o futuro. Brasília, DF, 1999c. (Estudos. Educação a
distância; v. 10)
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Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF, 1999d. 4v.
CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO (Brasil). Câmara de Educação Básica. Parecer nº
11, de 10 de maio de 2000. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação de Jovens
e Adultos. Documenta, Documenta Brasília, DF, n. 464, p. 3-83, maio 2000.
______. Parecer n° 15, de junho de 1998. Diretrizes Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio. Documenta, Documenta Brasília, DF, n. 441, p. 3-71, jun. 1998.
OLIVEIRA, M. K. de. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento, um processo sóciohistórico. 4. ed. São Paulo: Scipione, 1999. 111p. (Pensamento e ação no magistério).
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23
II. Eixos conceituais que
estruturam o ENCCEJA
O ENCCEJA se vincula a um conceito
mais estrutural e abrangente do
desenvolvimento da inteligência e
construção do conhecimento. Essa
concepção, de inspiração fortemente
construtivista, acha-se já amplamente
contemplada nos textos legais que
estruturam a educação básica no Brasil.
Tal concepção privilegia a noção de que
há um processo dinâmico de
desenvolvimento cognitivo mediado pela
interação do sujeito com o mundo que o
cerca. A inteligência é encarada não como
uma faculdade mental ou como expressão
de capacidades inatas, mas como uma
estrutura de possibilidades crescentes de
construção de estratégias básicas de ações
e operações mentais com as quais se
constroem os conhecimentos.
Nesse contexto, o foco da avaliação
recai sobre a aferição de competências e
habilidades com as quais transformamos
informações, produzimos novos
conhecimentos, reorganizando-os em
arranjos cognitivamente inéditos que
permitem enfrentar e resolver novos
problemas.
Estudos mais avançados sobre a avaliação
da inteligência, no sentido da estrutura
que permite aprender, ainda são pouco
praticados na educação brasileira.
Ressalte-se, também, que a própria
definição de inteligência e a maneira
como tem sido investigada constituem
pontos dos mais controvertidos nas áreas
da Psicologia e da Educação. O que se
constata é que alguns pressupostos
aceitos no passado tornaram-se
gradativamente questionáveis e, até
mesmo, abandonados diante de
investigações mais cuidadosas.
Em que pese os processos avaliativos
escolares no Brasil caracterizarem-se,
ainda, por uma excessiva valorização da
memória e dos conteúdos em si, aos
poucos essas práticas sustentadas pela
psicometria clássica vêm sendo
substituídas por concepções mais
dinâmicas que, de um modo geral, levam
em consideração os processos de
construção do conhecimento, o
processamento de informações, as
experiências e os contextos socioculturais
nos quais o indivíduo se encontra.
A teoria de desenvolvimento cognitivo,
proposta e desenvolvida por Jean Piaget
com cuidadosa fundamentação em dados
empíricos, empresta contribuições das
mais relevantes para a compreensão da
avaliação que se estrutura com o Encceja.
Para Piaget (1936), a inteligência é um
“termo genérico designando as formas
superiores de organização ou de
equilíbrio das estruturas cognitivas (…) a
inteligência é essencialmente um
sistema de operações vivas e atuantes”.
Envolve uma construção permanente do
sujeito em sua interação com o meio
físico e social. Sua avaliação consiste na
investigação das estruturas do
conhecimento, que são as competências
cognitivas.
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24
Livro do Professor
Para Piaget, as operações cognitivas
possuem continuidade do ponto de
vista biológico e podem ser divididas
em estágios ou períodos que possuem
características estruturais próprias, as
quais condicionam e qualificam as
interações com o meio físico e social.
Deve-se ressaltar que o estágio de
desenvolvimento cognitivo que
corresponde ao término da escolaridade
básica no Brasil denomina-se período das
operações formais, marcado pelo
advento do raciocínio hipotéticodedutivo.
É nesse período que o pensamento
científico torna-se possível,
manifestando-se pelo controle de
variáveis, teste de hipóteses, verificação
sistemática e consideração de todas as
possibilidades na análise de um
fenômeno.
Para Piaget, ao atingir esse período, os
jovens passam a considerar o real como
uma ocorrência entre múltiplas e
exaustivas possibilidades. O raciocínio
pode agora ser exercido sobre enunciados
puramente verbais ou sobre proposições.
Outra característica desse período de
desenvolvimento, segundo Piaget,
consiste no fato de as operações formais
serem operações à segunda potência, ou
seja, enquanto a criança precisa operar
diretamente sobre os objetos,
estabelecendo relações entre elementos
visíveis, no período das operações
formais, o jovem torna-se capaz de
estabelecer relações entre relações.
As operações formais constituem,
também, uma combinatória que permite
que os jovens considerem todas as
possibilidades de combinação de
elementos de uma dada operação
mental e sistematicamente testem cada
uma delas para determinar qual é a
combinação que os levará a um
resultado desejado.
Em muitos dos seus trabalhos, Piaget
enfatizou o caráter de generalidade das
operações formais. Enquanto as
operações concretas se aplicavam a
contextos específicos, as operações
formais, uma vez atingidas, seriam gerais
e utilizadas na compreensão de qualquer
fenômeno, em qualquer contexto.
As competências gerais que são
avaliadas no ENCCEJA estão
estruturadas com base nas
competências descritas nas operações
formais da Teoria de Piaget, tais como a
capacidade de considerar todas as
possibilidades para resolver um
problema; a capacidade de formular
hipóteses; de combinar todas as
possibilidades e separar variáveis para
testar a influência de diferentes fatores;
o uso do raciocínio hipotético-dedutivo,
da interpretação, análise, comparação e
argumentação, e a generalização dessas
operações a diversos conteúdos.
O ENCCEJA foi desenvolvido com base
nessas concepções, e procura avaliar para
certificar competências que expressam
um saber constituinte, ou seja, as
possibilidades e habilidades cognitivas
por meio das quais as pessoas conseguem
se expressar simbolicamente,
compreender fenômenos, enfrentar e
resolver problemas, argumentar e elaborar
propostas em favor de sua luta por uma
sobrevivência mais justa e digna.
A. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Desde o princípio de sua existência, o
homem enfrentou situações-problema
para poder sobreviver e, ainda, em seu
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25
II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
estado mais primitivo, desprovido de
qualquer recurso tecnológico, já buscava
conhecer a natureza e compreender seus
fenômenos para dominá-la e, assim,
garantir sua sobrevivência como espécie.
No entanto, à medida que, em seu
processo histórico, foi alcançando formas
mais evoluídas de organização social,
seus problemas de sobrevivência imediata
foram sendo substituídos por outros. A
cada novo passo de evolução, o homem
superou certos problemas abrindo novas
possibilidades de melhor qualidade de
vida, mas, ao mesmo tempo, abriu as
portas para novos desafios, importantes
para sua continuidade e sobrevivência.
A história do homem registra o
enfrentamento de contínuos desafios e
situações-problema, sempre superados
em nome de novas formas de
organização social, política, econômica
e científica, cada vez mais evoluídas e
complexas. Pode-se dizer que o
enfrentamento de situações-problema
constitui uma condição que acompanha
a vida humana desde sempre.
Cada vez mais tecnológica e globalizada,
a sociedade que atravessou os portais do
século XXI convida o homem à resolução
de grandes problemas em virtude das
contínuas transformações em todas as
áreas do conhecimento. Exige, ainda,
constantes atualizações, seja no mundo
do trabalho ou da escola, seja no ritmo e
nas atribuições de enfrentamento do
cotidiano da vida, como, também, uma
outra qualidade de respostas, à proporção
que assume características bem
diferenciadas daquelas que,
anteriormente, percorreram a história.
Durante muitos séculos, o homem, para
resolver problemas, contou com a
possibilidade de se orientar a partir dos
conhecimentos que haviam sido
construídos e adquiridos no passado, à
medida que ele podia contar com a
tradição ditada pelos hábitos e
costumes da sociedade de sua época,
com aquilo que sua cultura já
determinava como certo. As
características culturais, sociais, morais
e religiosas, entre outras, serviam-lhe
como referências, indicando-lhe
caminhos ou respostas.
Dessa maneira, ele orientava seu
presente pelo passado, tendo neste
passado o organizador de suas novas
ações. Como resultado, ele podia
planejar seu futuro como se este já
estivesse escrito e determinado em
função de suas ações presentes.
O avanço tecnológico dos dias atuais
desencadeou uma nova ordem de
transformações sociais, culturais, políticas
e econômicas, imprimindo ao mundo
novas relações numa velocidade tal, que
traz para o homem, neste século, uma
outra necessidade: a de se pautar não só
nas referências que o passado oferece
como garantias ou tradições, mas,
também, naquilo que diz respeito ao
futuro.
Quanto mais as sociedades
contemporâneas avançam em seus
conhecimentos tecnológicos e
científicos, mais distanciado parece estar
o homem de sua humanidade. Quanto
mais conforto e comodidade a vida
moderna pode oferecer, mais se
acentuam as diferenças sociais, culturais
e econômicas, criando verdadeiros
abismos entre os povos e entre as
populações de um mesmo país. Quanto
mais se conhece e se aprende, mais fica
distanciada uma boa parte da população
mundial do acesso à escolaridade, de
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26
Livro do Professor
modo que, muito antes de se erradicar o
analfabetismo da face da Terra, já há a
preocupação com a exclusão digital.
Quanto mais se vivencia a globalização,
mais complicadas ficam as possibilidades
de entendimento e comunicação, pois os
ideais e valores – que preconizam a
liberdade do homem, a solidariedade
entre os povos, a convivência entre as
pessoas e o exercício de uma verdadeira
cidadania – não correspondem a ações
concretas e efetivas. Dessa forma, o
mundo se debate entre guerras,
terrorismo, drogas, doenças, ignorância e
miséria. Essa é a natureza das situaçõesproblema que o homem contemporâneo
enfrenta. Então, como preparar as
crianças e jovens com condições para
que possam aprender a enfrentar e
solucionar tais problemas, superando-os
em nome de um futuro melhor?
Pensando na educação dessas crianças e
jovens, tal realidade traz sérias
implicações e a necessidade de
profundas modificações no âmbito
escolar. Cada vez mais é preciso que os
alunos saibam como aprender, como
compreender fatos e fenômenos, como
estabelecer suas relações interpessoais,
como analisar, refletir e agir sobre essa
nova ordem de coisas. Hoje, por
exemplo, um conhecimento científico,
uma tecnologia ensinada na escola é
rapidamente substituída por outra mais
moderna, mais sofisticada e atualizada,
às vezes, antes mesmo que os alunos
tenham percorrido um único ciclo de
escolaridade. Dessa maneira, vivem-se
tempos nos quais os mais diferentes
países revisam seus modelos
educacionais, discutem e implementam
reformas curriculares que sejam mais
apropriadas para atender às demandas
da sociedade contemporânea, uma
sociedade que, em termos de
conhecimento, está aberta para todos os
possíveis, para todas as possibilidades.
O homem do século XXI, portanto, está
diante de quatro grandes situaçõesproblema que implicam necessidades de
resolução: aprender a conhecer,
aprender a ser, aprender a fazer e
aprender a conviver. Como conhecer ou
adquirir novos conhecimentos? Como
aprender a interpretar a realidade em
um contexto de contínuas
transformações científicas, culturais,
políticas, sociais e econômicas? Como
aprender a ser, resgatando a sua
humanidade e construindo-se como
pessoa? Como realizar ações em uma
prática que seja orientada
simultaneamente pelas tradições do
passado e pelo futuro que ainda não é?
Como conviver em um contexto de
tantas diversidades, singularidades e
diferenças e em que o respeito e o amor
estejam presentes?
Em uma perspectiva psicológica, e,
portanto, do desenvolvimento,
conhecer e ser são duas formas de
compreensão, à medida que se
expressam como maneiras de interpretar
ou atribuir significados a algo, de saber
as razões de algo, do ponto de vista do
raciocínio e do pensamento, exigindo
do ser humano a construção de
ferramentas adequadas a uma leitura
compreensiva da realidade. Fazer e
conviver são formas de realizaçâo, pois
se expressam como procedimentos,
como ações que visam a um certo
objetivo. Por sua vez, realizar e
conviver implicam que o ser humano
saiba escrever o mundo, construindo
modos adequados de proceder em suas
ações. Por isso, é preciso que
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27
II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
preparemos as crianças e jovens para
um mundo profissional e social que os
coloque continuamente em situações de
desafio, às quais requerem cada vez
mais saberes de valor universal que os
preparem para serem leitores de um
mundo em permanente transformação.
É preciso, ainda, que os preparemos
como escritores de um mundo que pede
a participação efetiva de todos os seus
cidadãos na construção de novos
projetos sociais, políticos e econômicos.
Portanto, do ponto de vista
educacional, tais necessidades implicam
o compromisso com uma revisão
curricular e pedagógica que supere o
modelo da simples memorização de
conteúdos escolares que hoje se mostra
insuficiente para o enfrentamento da
realidade contemporânea. Os novos
tempos exigem um outro modelo
educacional, voltado para o
desenvolvimento de um conjunto de
competências e de habilidades essenciais,
a fim de que crianças e jovens possam
efetivamente compreender e refletir
sobre a realidade, participando e agindo
no contexto de uma sociedade
comprometida com o futuro.
B. AS ORIGENS DO TERMO
COMPETÊNCIA
O sentido original da palavra
competência é de natureza jurídica, ou
seja, diz respeito ao poder que tem uma
certa jurisdição de conhecer e decidir
sobre uma causa. Gradativamente, o
significado estendeu-se, passando o
termo a designar a capacidade de
alguém para se pronunciar sobre
determinado assunto, fazer determinada
coisa ou ter capacidade, habilidade,
aptidão, idoneidade.
Recentemente, competência tornou-se
uma palavra difundida, com freqüência,
nos discursos sociais e científicos.
Entretanto, Isambert-Jamati (1997)
afirma que não se trata simplesmente de
modismo porque o caráter
relativamente duradouro do uso dessa
noção e a existência de uma certa
congruência em relação ao seu
significado, em esferas como as da
educação e do trabalho, podem ser
reveladores de mudanças na sociedade e
na forma como um grupo social partilha
certos significados. Nesse sentido, o
termo competência não é só revelador
de certas mudanças como também pode
contribuir para modelá-las, ou seja,
comparece no lugar de certas noções,
ao mesmo tempo em que modifica seus
significados. Pode-se dizer que, no
geral, o termo competência vem
substituindo a idéia de qualificação no
domínio do trabalho, e as idéias de
saberes e conhecimento no campo da
educação.
As razões da invasão do termo
competência, segundo Tanguy (1997),
nas diferentes esferas da atividade
social, são difíceis de precisar, embora,
no caso da educação e do trabalho,
possam estar associadas a uma série de
movimentos geradores de concepções
nesses dois campos, bem como das
inter-relações entre eles. Dentre tais
concepções ou crenças, podemos
destacar: necessidade de superar o
aspecto da instrução pelo da educação;
reconhecimento da importância do
poder do conhecimento por todos os
meios sociais e de que a transmissão do
conhecimento não é tarefa exclusiva da
escola; institucionalização e
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28
Livro do Professor
sistematização de princípios sobre
formação contínua fora do âmbito
escolar; exigência de superar a
qualificação profissional precária e
mecânica; necessidade de rever o ensino
disciplinar e o saber academicista ou
descontextualizado; preocupação de
colocar o aluno no centro do processo
educativo, como sujeito ativo.
A intervenção desses elementos sobre a
problemática da formação e
aprendizagens profissionais, além da
necessidade de novas adaptações ao
mundo do trabalho e da escola,
acabaram por proporcionar uma
apropriação geral da noção de
competência em vários países,
provavelmente na expectativa de
atribuir novos significados às noções
que ela pretende substituir nas
atividades pedagógicas. Mais
especificamente, no entanto, esse
referencial sobre a noção de
competência tem-se imposto nas
escolas, inicialmente, por meio da
avaliação. Essas inter-relações
produziram uma contaminação de
significados, e o termo competência
passou a ser usado com freqüência no
sistema educativo, no qual ganhou
outras conotações.
Dado esse caráter polissêmico da noção
de competência, trata-se de precisar em
que sentido pretendemos utilizá-la.
A NOÇÃO DE COMPETÊNCIA: A QUE SE APLICA?
Embora o uso do termo competência seja
comum, é difícil precisar o seu
significado. Se tentarmos descrever uma
das nossas competências,
conseguiremos, no máximo, elencar uma
série de ações que realizamos para
enfrentar uma situação-problema, tais
como uma análise de fenômeno, um ato
de leitura, ou a condução de um
automóvel. Mesmo tendo consciência
dessa série, não conseguiremos encontrar
algo que possa traduzir a totalidade
desses atos.
Por outro lado, do ponto de vista
externo, quando observamos os outros,
conseguimos, com relativa facilidade,
concluir sobre a existência desta ou
daquela competência. Ao fazê-lo, no
entanto, ultrapassamos a mera descrição
dos atos, significando que aquela série
de ações é interpretada na sua
totalidade ou no conjunto que a traduz.
Supõe-se, portanto, que há algo interno
que articula e rege as ações,
possibilitando que sejam eficazes e
29
II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
Em síntese, a idéia de competência
retrata dois aspectos antagônicos mas
solidários, que podem ser traduzidos de
várias maneiras: interno e externo,
implícito e explícito, o da visibilidade
social e o da organização interna, o que
na ação é observável e mais
estandardizado e o que é mais ligado ao
sujeito, portanto, singular e obscuro.
Esses aspectos podem ser encontrados
nas teorias que fundamentam a noção
de competência, as quais abordam essa
questão em dois pólos opostos. No
primeiro pólo, estão as teorias que usam
o termo competência como referência a
atos observáveis ou comportamentos
específicos, empregados, sobretudo, na
formação profissional e na concepção
da aprendizagem por objetivos. No
segundo pólo encontram-se, autores
que analisam as capacidades do sujeito
resultantes de organização interna e
não-observáveis diretamente:
Assim, tanto a competência é concebida
como uma potencialidade invisível,
interna, pessoal, susceptível de engendrar
uma infinidade de “performances”, tanto
ela se define por componentes
observáveis, exteriores, impessoais.
(Rey, 1998, p. 26)
Esses dois sentidos do termo
competência são usados e convivem
alternadamente, tanto no mundo do
trabalho como no mundo da escola.
A concepção de competência como
comportamento é a manifestação de um
modelo teórico que guarda parentesco
com o behaviorismo, o qual tem
embasado o uso da noção de
competência de duas formas. No sentido
mais restrito, competência é tida como
comportamento objetivo e observável e
que se realiza como resposta a uma
situação. Essa forma de entender
competência se manifesta no campo da
formação profissional quando pressupõe
que a cada posto de trabalho
corresponda uma lista de tarefas
específicas. No campo da educação, essa
noção de competência comparece
associada à pedagogia por objetivos
(Bloom,1972 e Mager, 1975), cuja idéia
central é a de que, para ensinar, é preciso
traçar objetivos claros e específicos, sem
ambigüidades, de tal forma que o
professor possa prever que seus alunos
serão capazes de alcançá-los. Para tanto,
as competências devem-se confundir
com o comportamento observável. Tal
concepção está, portanto, diretamente
associada às idéias de performance e
eficácia (Ropé e Tanguy, 1997), bem
como acaba por fomentar a elaboração
de listagens de comportamentos
exigíveis em diferentes níveis dos
programas de ensino. Na medida em que
a competência se reduz ao
comportamento observável, elimina-se
do mesmo o seu caráter implícito.
Esse mesmo modelo, no sentido mais
amplo, toma uma outra forma: a da ação
funcional, ou seja, ser competente não é
apenas responder a um estímulo e realizar
uma série de comportamentos, mas,
sobretudo, ser capaz de, voluntariamente,
selecionar as informações necessárias para
regular sua ação ou mesmo inibir as
reações inadequadas. Na realidade, essa
concepção pretende superar a falta de
sentido produzida na consecução de
objetivos. Ao introduzir a idéia de
finalidade ao comportamento, fato que a
pedagogia por objetivos desconsiderou,
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30
Livro do Professor
acentua-se que, subjacente a um
comportamento observável, consciente ou
automaticamente, existe uma organização
realizada pelo sujeito, da qual se depreende
a existência de um equipamento cognitivo
que organiza, seleciona e hierarquiza seus
movimentos em função dos objetivos a
alcançar. Em outras palavras, a
competência não é redutível aos
comportamentos estritamente objetivos,
mas está vinculada sempre a uma atividade
humana que, ligada à escola ou ao
trabalho, caracteriza-se por sua relação
funcional a tais atividades definidas
socialmente.
Em síntese, embora existam essas
variações no sentido de competência
como comportamento, em ambos ela é
vista no seu caráter específico e
determinado: no primeiro caso, é limitada
pelos estímulos que a provocam; no
segundo, pela função que apresenta na
situação ou contexto que a exige.
Como já dissemos, um outro pólo da
análise teórica sobre competência não a
identifica com comportamento; ela é
considerada como uma capacidade geral
que torna o indivíduo apto a
desenvolver uma variedade de ações
que respondem a diferentes situações.
Competência, nesse caso, refere-se ao
funcionamento cognitivo interno do
sujeito. Essa concepção de competência
foi formulada em contraposição à idéia
de competências como comportamentos
específicos, a partir das teorias de
competência lingüística, proposta por
Chomsky (1983) e da auto-regulação do
desenvolvimento cognitivo, proposta
por Piaget (1976). Embora divergindo a
respeito da origem das competências
cognitivas, esses autores têm em
comum a crença de que nenhum
conhecimento é possível sem haver uma
organização interna.
Para Chomsky (1983), a competência
lingüística não se confunde com
comportamento. Ela deriva de um poder
interno (núcleo fixo inato), expresso por
um conjunto de regras do qual o sujeito
não tem consciência, que possibilita a
produção de comportamentos lingüísticos.
Na abordagem piagetiana, a idéia de
competência está atrelada à organização
interna e complexa das ações humanas,
mas, diferentemente de Chomsky,
Piaget (1983) discorda do caráter inato
dessa organização e enfatiza a sua
dimensão adaptativa. Sustenta que a
progressividade do desenvolvimento
mental se apóia em um processo de
construção, no qual interferem o
mínimo de “pré-formações” e o máximo
de auto-organização. A competência,
nesse sentido, diz respeito à construção
endógena das estruturas lógicas do
pensamento que, à medida que se
estabelecem, modificam o padrão da
ação ou adaptação ao meio e que
Malglaive (1995) denomina de estrutura
das capacidades.
A abordagem piagetiana, como
sabemos, teve como preocupação
mostrar as estruturas lógicas como
universais. Mesmo afirmando que todo
conhecimento se dá em um contexto
social e descrevendo o papel da
interação entre os pares como
fundamental para o desenvolvimento do
raciocínio lógico, essa investigação não
privilegiou a forma de atuação do
contexto social ou das situações no
desenvolvimento das competências
cognitivas. A partir de contribuições da
sociologia e da antropologia, vários
estudos têm sido realizados no sentido
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31
II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
de mostrar as relações entre contextos
culturais e cognição, conforme descrito
por Dias (2002). Nesse sentido, vale
ressaltar as reflexões de Bordieu (1994),
quando afirma que a compreensão não é
só o reconhecimento de um sentido
invariante, mas a apreensão da
singularidade de uma forma que só
existe em um contexto particular.
COMPETÊNCIAS COMO MODALIDADES
ESTRUTURAIS DA INTELIGÊNCIA
A ressignificação da noção competência
– nos meios educacionais e acadêmicos –
está muito provavelmente atrelada à
necessidade de encontrar um termo que
substituísse os conceitos usados para
descrever a inteligência, os quais se
mostraram inadequados, quer pela
abrangência, quer pela limitação. No
primeiro caso, sabemos das dificuldades
de trabalhar com termos como
capacidade para expressar aquilo que
deve ser objeto de desenvolvimento, até
mesmo porque essa idéia carrega
conotações de aptidão, difíceis de
precisar. No segundo caso, a vinculação
da inteligência à aquisição de
comportamentos produziu uma visão
pontual e molecular que reduz o
desenvolvimento a uma listagem de
saberes a serem adquiridos. Como
contraponto, a noção de competência
surgiu no discurso dos profissionais da
educação como uma forma de
circunscrever o termo capacidade e
alargar a idéia de saber específico.
Nesse sentido, o construtivismo
contribuiu, de forma significativa, para
pensar a inteligência humana como
resultado de um processo de adaptações
progressivas, portanto não polarizado
no meio ou nas estruturas genéticas. Por
outro lado, o conceito de operações
mentais permite colocar a aprendizagem
no contexto das operações e não apenas
no do conhecimento ou do
comportamento.
C. AS COMPETÊNCIAS DO ENEM
NA PERSPECTIVA DAS AÇÕES OU
OPERAÇÕES DO SUJEITO
Considerando as características do
mundo de hoje, quais os recursos
cognitivos que um jovem, concluinte da
educação básica, deve ter construído ao
longo desse período? A matriz de
competências do ENEM expressa uma
hipótese sobre isso, ou seja, assume o
pressuposto de que os conhecimentos
adquiridos ao longo da escolarização
deveriam possibilitar ao jovem domínio
de linguagens, compreensão de
fenômenos, enfrentamento de
situações-problema, construção de
argumentações e elaboração de
propostas. De fato, tais competências
parecem sintetizar os principais
aspectos que habilitariam um jovem a
enfrentar melhor o mundo, com todas
as suas responsabilidades e desafios.
Quais são as ações e operações
valorizadas na proposição das
competências da matriz? Como analisar
esses instrumentos cognitivos em sua
função estruturante, ou seja,
organizadora e sistematizadora de um
pensar ou um agir com sentido
individual e coletivo? Em outras
palavras, o que significam dominar e
fazer uso (competência I); construir,
aplicar e compreender (competência II);
selecionar, organizar, relacionar,
interpretar, tomar decisões, enfrentar
(competência III); relacionar, construir
argumentações (competência IV);
recorrer, elaborar, respeitar e considerar
(competência V)?
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32
Livro do Professor
DOMINAR E FAZER USO
A competência I tem como propósito
avaliar se o estudante demonstra
“dominar dominar a norma dominar culta da Língua
Portuguesa e fazer uso fazer uso da linguagem
matemática, artística e científica”.
Dominar, segundo o dicionário, significa
“exercer domínio sobre; ter autoridade
ou poder em ou sobre; ter autoridade,
ascendência ou influência total sobre;
prevalecer; ocupar inteiramente”. Fazer
uso, pois, é sinônimo de dominar, já que
expressa ou confirma seu exercício na
prática.
Dominar a norma culta tem significados
diferentes nas tarefas de escrita ou
leitura avaliadas. No primeiro caso, o
domínio da norma culta pode ser
inferido, por exemplo, pela correção da
escrita, coerência e consistência textual,
manejo dos argumentos em favor das
idéias que o aluno quer defender ou
criticar. Quanto às tarefas de leitura, tal
domínio pode ser inferido pela
compreensão do problema e
aproveitamento das informações
presentes nos enunciados das questões.
Além disso, sabemos hoje que o mundo
contemporâneo se caracteriza por uma
pluralidade de linguagens que se
entrelaçam cada vez mais. Vivemos na
era da informação, da comunicação, da
informática. Basicamente, todas as
nossas interações com o mundo social,
com o mundo do trabalho, com as
outras pessoas, enfim, dependem dessa
multiplicidade de linguagens para que
possamos nos beneficiar das tecnologias
modernas e dos progressos científicos,
realizar coisas, aprender a conviver, etc.
Dominar linguagens significa, portanto,
saber atravessar as fronteiras de um
domínio lingüístico para outro. Assim,
tal competência requer do sujeito, por
exemplo, a capacidade de transitar da
linguagem matemática para a linguagem
da história ou da geografia, e dessas,
para a linguagem artística ou para a
linguagem científica. Significa ainda ser
competente para reconhecer diferentes
tipos de discurso, sabendo usá-los de
acordo com cada contexto.
O domínio de linguagens implica um
sujeito competente como leitor do
mundo, ou seja, capaz de realizar
leituras compreensivas de textos que se
expressam por diferentes estilos de
comunicação, ou que combinem
conteúdos escritos com imagens,
charges, figuras, desenhos, gráficos, etc.
Da mesma forma, essa leitura
compreensiva implica atribuir
significados às formas de linguagem que
são apropriadas a cada domínio de
conhecimento, interpretando seus
conteúdos. Ler e interpretar significa
atribuir significado a algo, apropriar-se
de um texto, estabelecendo relações
entre suas partes e tratando-as como
elementos de um mesmo sistema.
Dominar linguagens implica ainda um
sujeito competente como escritor da
realidade que o cerca, um sujeito que
saiba fazer uso dessa multiplicidade de
linguagens para produzir diferentes
textos que comuniquem uma proposta,
uma reflexão, uma linha de
argumentação clara e coerente.
Por isso, dominar linguagens implica
trabalhar com seus conteúdos na
dimensão de conjecturas, proposições e
símbolos. Nesse sentido, a linguagem
constitui o instrumento mais poderoso
de nosso pensamento, à medida que ela
lhe serve de suporte.
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33
II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
Por exemplo, pensar a realidade como
um possível, como é próprio do
raciocínio formal (Inhelder e Piaget,
1955), seria impraticável sem a
linguagem, pois é ela que nos permite
transitar do presente para o futuro,
antecipando situações, formulando
proposições. Não seria possível também
fazer o contrário, transitar do presente
para o passado, que só existe como uma
lembrança ou como uma imagem. Da
mesma maneira, raciocinar de uma
forma hipotético-dedutiva também
depende da linguagem, pois sem ela não
teríamos como elaborar hipóteses, idéias
e suposições que existem apenas em um
plano puramente representacional e
virtual.
CONSTRUIR, APLICAR E COMPREENDER
O objetivo da competência II é avaliar se o
estudante sabe “construir construir e construir aplicar aplicar
conceitos das várias áreas do
conhecimento para a compreensão de compreensão
fenômenos naturais, de processos
histórico-geográficos, da produção
tecnológica e das manifestações
artísticas”.
Construir é uma forma de domínio que,
no caso das questões das provas, pode
implicar o exercício ou uso de muitas
habilidades: estimar, calcular,
relacionar, interpretar, comparar, medir,
observar etc. Em quaisquer delas, o
desafio é realizar operações que
possibilitem ultrapassar uma dada
situação ou problema, alcançando
aquilo que significa ou indica sua
conclusão. Construir, portanto, é
articular um tema com o que qualifica
sua melhor resposta ou solução, tendo
que, para isso, realizar procedimentos
ou dominar os meios requeridos,
considerando as informações
disponíveis na questão.
Hoje, a compreensão de fenômenos,
naturais ou não, tornou-se
imprescindível ao ser humano que se
quer participante ativo de um mundo
complexo, onde coabitam diferentes
povos e nações, marcados por uma
enorme diversidade cultural, científica,
política e econômica e, ao mesmo tempo,
desafiados para uma vida em comum,
interdependente ou globalizada.
Compreender fenômenos significa ser
competente para formular hipóteses ou
idéias sobre as relações causais que os
determinam. Ou seja, é preciso saber que
um dado procedimento ou ação provoca
uma certa conseqüência. Assim, se o
desmatamento desenfreado ocorre em
todo o planeta, é possível supor que esse
evento, em pouco tempo, causará
desastres climáticos e ecológicos, por
exemplo.
Além disso, a compreensão de
fenômenos requer competência para
formular idéias sobre a explicação causal
de um certo fenômeno, atribuindo
sentido às suas conseqüências. Voltando
ao exemplo anterior, não basta ao sujeito
construir e aplicar seus conhecimentos
para saber que as conseqüências do
desmatamento serão os desastres
climáticos ou ecológicos, mas é preciso
também que ele compreenda as razões
que esse fato implica, ou seja, que
estabeleça significados para ele.
Para isso, é necessário determinar
relações entre as coisas, inferir sobre
elementos que não estão presentes em
uma situação, mas que podem ser
deduzidos por aquelas que ali estão,
trabalhar com fórmulas e conceitos.
Nesse sentido, também fazemos uso da
linguagem, à medida que formulamos
hipóteses para compreender um
fenômeno ou fato, ou elaboramos
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Livro do Professor
conjecturas, idéias e suposições em
relação a ele. Nesse jogo de elaborações
e suposições, trabalhamos, do ponto de
vista operatório, com a lógica da
combinatória (Inhelder e Piaget, 1955), a
partir da qual é preciso considerar, ao
mesmo tempo, todos os elementos
presentes em uma dada situação.
SELECIONAR, ORGANIZAR, RELACIONAR,
INTERPRETAR, TOMAR DECISÕES E ENFRENTAR
SITUAÇÕES-PROBLEMA
O objetivo da Competência III é avaliar
se o aluno sabe “selecionar selecionar, selecionar organizar organizar, organizar
relacionar relacionar, relacionar interpretar interpretar interpretar dados e
informações representados de diferentes
formas, para tomar decisões e tomar decisões enfrentar enfrentar
situações-problema”. situações-problema
Talvez a melhor forma de analisarmos as
ações ou operações avaliadas nessa
competência seja fazermos a leitura em
sua ordem oposta: enfrentar uma
situação-problema implica selecionar,
organizar, relacionar e interpretar dados
para tomar uma decisão. De fato, assim
é. Tomar uma decisão implica fazer um
recorte significativo de uma realidade, às
vezes, complexa, ou seja, que pode ser
analisada de muitos modos e que pode
conter fatores concorrentes, no sentido
de que nem sempre é possível dar
prioridade a todos eles ao mesmo
tempo. Selecionar é, pois, recortar algo
destacando o que se considera
significativo, tendo em vista um certo
critério, objetivo ou valor. Além disso,
tomar decisão significa organizar ou
reorganizar os aspectos destacados,
relacionando-os e interpretando-os em
favor do problema enfrentado.
Reparem que enfrentar uma situaçãoproblema não é o mesmo que resolvêla. Ainda que nossa intenção, diante de
um problema ou questão, seja encontrar
ou produzir sua solução, a ação ou
operação que se quer destacar é a de
saber enfrentar, sendo o resolver, por
certo, seu melhor desfecho, mas não o
único. Ou seja, o enfrentamento de
situações-problema relaciona-se à
capacidade de o sujeito aceitar desafios
que lhe são colocados, percorrendo um
processo no qual ele terá que vencer
obstáculos, tendo em vista um certo
objetivo. Quando bem sucedido nesse
enfrentamento, pode-se afirmar que o
sujeito chegou à resolução de uma
situação-problema. Produzir resultados
com êxito no contexto de uma situaçãoproblema pressupõe o enfrentamento da
mesma. Pressupõe encarar dificuldades e
obstáculos, operando nosso raciocínio
dentro dos limites que a situação nos
coloca. Tal como em um jogo de
tabuleiro, enfrentar uma partida
pressupõe o jogar dentro das regras – o
jogar certo –, sendo as regras aquilo que
nos fornecem as coordenadas e os
limites para nossas ações, a fim de
percorrermos um certo caminho durante
a realização da partida. No entanto, nem
sempre o jogar certo é o suficiente para
que joguemos bem, isto é, para que
vençamos a partida, seja porque nosso
adversário é mais forte, seja porque não
soubemos, ao longo do caminho,
colocar em prática as melhores
estratégias para vencer. (Macedo, Petty
e Passos, 2000)
Da mesma maneira, uma situação –
problema traz um conjunto de
informações que, por analogia, funcionam
como as regras de um jogo, as quais, de
maneira explícita, impõem certos limites
ao jogador. É a partir desse dado real – as
regras – que o jogador enfrentará o jogo,
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II. Eixos conceituais que estruturam ENCCEJA
mobilizando seus recursos, selecionando
certos procedimentos, organizando suas
ações e interpretando informações para
tomar decisões que considere as melhores
naquele momento.
Tendo em vista esses aspectos, o que a
competência III busca valorizar é a
possibilidade de o sujeito, ao enfrentar
situações-problema, considerar o real
como parte do possível (Inhelder e
Piaget, 1955). Se, para ele, as
informações contidas no problema forem
consideradas como um real dado que
delimita a situação, pode transformá-lo
em uma abertura para todos os possíveis.
RELACIONAR E ARGUMENTAR
O objetivo da competência IV é verificar
se o aluno sabe “relacionar relacionar relacionar informações,
representadas em diferentes formas, e
conhecimentos disponíveis em situações
concretas, para construir construir
argumentação argumentação consistente”.
Relacionar refere-se às ações ou
operações por intermédio das quais
pensamos ou realizamos uma coisa em
função de outra. Ou seja, trata-se de
coordenar pontos de vista em favor de
uma meta, por exemplo, defender ou
criticar uma hipótese ou afirmação. Para
isso, é importante sabermos descentrar,
ou seja, considerar uma mesma coisa
segundo suas diferentes perspectivas ou
focos. Dessa forma, a conclusão ou
solução resultante da prática relacional
expressa a qualidade do que foi analisado.
Saber construir uma argumentação
consistente significa, pois, saber mobilizar
conhecimentos, informações, experiências
de vida, cálculos, etc. que possibilitem
defender uma idéia que convence alguém
(a própria pessoa ou outra com quem
sediscute) sobre alguma coisa.
Consideremos que convencer significa
vencer junto, ou seja, implica aceitar
que o melhor argumento pode vir de
muitas fontes e que nossas idéias de
partida podem ser confirmadas ou
reformuladas total ou parcialmente no
jogo das argumentações. Assim, saber
argumentar é convencer o outro ou a si
mesmo sobre uma determinada idéia.
Convencer o outro porque, quando
adotamos diferentes pontos de vista
sobre algo, é preciso elaborar a melhor
justificativa para que o outro apóie
nossa proposição. Convencer a si
mesmo porque, ao tentarmos resolver
um determinado problema,
necessitamos relacionar informações,
conjugar diversos elementos presentes
em uma determinada situação,
estabelecendo uma linha de
argumentação mental sem a qual se
torna impossível uma solução
satisfatória. Nesse sentido, construir
argumentação significa utilizar a melhor
estratégia para apresentar e defender
uma idéia; significa coordenar meios e
fins, ou seja, utilizar procedimentos que
apresentem os aspectos positivos da
idéia defendida.
Por isso, a competência IV é muito
valorizada no mundo atual, tendo em
vista que vivemos tempos nos quais as
sociedades humanas, cada vez mais
abertas, perseguem ideais de democracia
e de igualdade. Em certo sentido, a vida
pede o exercício dessa competência, pois
hoje a maioria das situações que
enfrentamos requerem que saibamos
considerar diversos ângulos de uma
mesma questão, compartilhando
diferentes pontos de vista, respeitando as
diferenças presentes no raciocínio de
cada pessoa. De certa forma, essa
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36
Livro do Professor
competência implica o exercício da
cidadania, pois argumentar hoje se refere
a uma prática social cada vez mais
necessária, à medida que temos que
estabelecer diálogos constantes,
defender idéias, respeitar e compartilhar
diferenças.
RECORRER, ELABORAR, RESPEITAR E CONSIDERAR
O objetivo da competência V é valorizar a
possibilidade de o aluno “recorrer recorrer aos recorrer
conhecimentos desenvolvidos na escola
para elaboração de elaboração propostas de
intervenção solidária na realidade,
respeitando os respeitando valores humanos e
considerando a di considerando versidade
sociocultural”.
Recorrer significa levar em conta as
situações anteriores para definir ou
calcular as seguintes até chegar a algo
que tem valor de ordem geral. Uma das
conseqüências, portanto, da recorrência é
sua extrapolação, ou seja, podermos
aplicá-la a outras situações ou encontrar
uma fórmula ou procedimento que
sintetiza todo o processo. Elaborar
propostas, nesse sentido, é uma forma de
extrapolação de uma recorrência. Propor
supõe tomar uma posição, traduzir uma
crítica em uma sugestão, arriscar-se a
sair de um papel passivo. Por extensão,
acarreta a mobilização de novas
recorrências, tornando-se solidário, isso
é, agindo em comum com outras pessoas
ou instituições. Este agir em comum
implica aprender a respeitar, ou seja,
considerar o ponto de vista do outro,
articular meios e fins, pensar e atuar
coletivamente.
A sociedade contemporânea diferenciase de outras épocas por suas
transformações contínuas em todos os
setores. Dessa maneira, as mudanças
sociais, políticas, econômicas, científicas
e tecnológicas de hoje se fazem com
uma rapidez enorme, exigindo do
homem atualizações constantes. Não
mais é possível que solucionemos os
problemas apenas recorrendo aos
conhecimentos e à sabedoria que a
humanidade acumulou ao longo dos
tempos, pois estes muitas vezes se
mostram obsoletos. A realidade nos
impõe hoje a necessidade de criar novas
soluções a cada situação que
enfrentamos, sem que nos pautemos
apenas por esses saberes tradicionais.
Por essas razões, elaborar propostas é
uma competência essencial, à medida
que ela implica criar o novo, o atual.
Mas, para criar o novo, é preciso que o
sujeito saiba criticar a realidade,
compreender seus fenômenos,
comprometer e envolver-se ativamente
com projetos de natureza coletiva. Vale
dizer que tal competência exige a
capacidade do sujeito exercer
verdadeiramente sua cidadania, agindo
sobre a realidade de maneira solidária,
envolvendo-se criticamente com os
problemas da sua comunidade, propondo
novos projetos e participando das
decisões comuns.
BIBLIOGRAFIA
BLOOM, B. S.; KRATHWHL, D. R.; MASIA, B. Taxionomia de objetos educacionais.
Porto Alegre: Globo, 1972. v. 1. Domínio Cognitivo.

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BORDIEU, P. A economia das trocas simbólicas. In: ORTIZ, Pierre (Org.). Sociologia.
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Matem∙tica 9-38.pmd 38 11/7/2003, 09:21
39
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
Este texto tem a finalidade de
contribuir para o trabalho de
professores e especialistas em
Educação de Jovens e Adultos. Ele
está organizado em duas partes.
Inicialmente apresentamos alguns
elementos sobre o conhecimento
matemático e seu papel na formação do
cidadão do novo milênio, para, em
seguida, relacionar essa reflexão à
formulação das diferentes competências
que devem ser constituídas por um
jovem ou adulto ao final do Ensino
Fundamental.
Como aprender Matemática é um direito
básico desses jovens e adultos, a linha
orientadora deste trabalho evidencia o
papel dessa área de conhecimento na
formação de todas as pessoas, atendendo
a suas necessidades individuais e sociais.
Sabemos que a falta de recursos para
obter e interpretar informações impede a
participação efetiva e a tomada de
decisões em relação aos problemas
sociais e dificulta o acesso às posições de
trabalho numa sociedade que depende
cada vez mais do conhecimento
tecnológico. Explicitar essa necessidade
é uma das contribuições deste material.
A proposta de construção autônoma de
conhecimentos por estudantes, com ou sem
a interferência da escola, nos remete ao que
Dowbor (1994) aponta como
transformações significativas em termos do
chamado “espaço do conhecimento” que
caracteriza sociedades contemporâneas:
• é necessário repensar de forma mais
dinâmica a questão do universo de
conhecimentos a trabalhar;
• neste universo de conhecimentos,
assumem maior importância relativa às
metodologias, reduzindo-se ainda mais
a dimensão “estoque” de conhecimentos
a transmitir;
• aprofunda-se a transformação da
cronologia do conhecimento: a visão de
homem que primeiro estuda, depois
trabalha e depois se aposenta, torna-se
cada vez mais anacrônica e a
complexidade das diversas cronologias
aumenta;
A Matemática no Ensino Fundamental
Célia Maria Carolino Pires
Matem∙tica 39-75.pmd 39 11/7/2003, 09:21
40
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• modifica-se profundamente a função do
educando, em particular do adulto, como
sujeito da própria formação diante da
diferenciação da riqueza dos espaços de
conhecimento nos quais deverá participar;
• a luta pelo acesso aos espaços de
conhecimento vincula-se ainda mais
profundamente ao resgate da cidadania ,
em particular para a maioria pobre da
população, como parte integrante das
condições de vida e de trabalho;
• finalmente, longe de tentar ignorar as
transformações, ou de atuar de forma
defensiva, precisamos penetrar nas
novas dinâmicas para entender sob que
forma os seus efeitos podem ser
invertidos, levando a um processo
reequilibrador da sociedade, ao passo
que hoje apenas reforçam as
polarizações e desigualdades
(Dowbor, p.119).
MATEMÁTICA, OS JOVENS E OS ADULTOS
As pessoas e os grupos sociais têm o
direito de serem iguais quando a
diferença os inferioriza e o direito de
serem diferentes quando a igualdade os
descaracteriza.
(Santos, 1988)
Quando se discute a educação
matemática e sua apropriação por jovens
e adultos com pouca escolarização, a
afirmação acima é bastante
esclarecedora, pois:
• jovens e adultos têm direito de se
apropriar de conhecimentos
matemáticos para não serem
discriminados, inferiorizados;
• jovens e adultos têm o direito de se
apropriar de conhecimentos
matemáticos, de forma coerente e
compatível com os saberes que
construíram ao longo de sua vivência.
Assim, a Matemática a ser ensinada e
avaliada deve ter, por um lado, um
caráter prático, na medida em que ajuda
a resolver problemas do cotidiano das
pessoas, não só permite que não sejam
enganadas, mas também possibilita o
exercício de sua cidadania. Por outro
lado, também deve contribuir para o
desenvolvimento do raciocínio, da
lógica, da coerência, o que transcende
os aspectos práticos.
Quanto maiores forem a gama e a
diversidade de conhecimentos trabalhados
por jovens e adultos, maior poderá ser a
sua compreensão da Matemática. Desse
modo, diferentes campos da Matemática
devem integrar, de forma articulada, as
atividades e experiências matemáticas em
qualquer projeto educativo. Não apenas as
questões aritméticas e algébricas devem
merecer atenção, mas também são
fundamentais os trabalhos geométricos e
métricos e os trabalhos que envolvem o
raciocínio combinatório, o probabilístico e
as análises estatísticas.
Essa população deve compreender a
atividade matemática como inserida no
mundo contemporâneo ao trabalhar com
estimativa tanto quanto com cálculos
exatos, ao fazer bom uso dos
equipamentos tecnológicos (como por
exemplo, a calculadora), ao explorar o
cálculo mental e dominar procedimentos
para a validação de resultados etc. Isso
pressupõe superar formas de trabalho
empobrecedoras em que se manipulam
resultados, fórmulas, regras, na resolução
mecânica de exercícios padronizados.
Aspectos importantes, especialmente
para jovens e adultos que não
concluíram o ensino fundamental, são a
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41
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
seleção e a organização de informações
relevantes. Num mundo em que há uma
grande massa de informações, algumas
contraditórias, outras pouco relevantes, é
necessário que o cidadão consiga fazer
uma triagem e uma avaliação constantes.
Outro aspecto fundamental é o uso da
língua materna e de suas relações com a
linguagem e as representações
matemáticas. Os textos matemáticos
são, geralmente, os grandes ausentes
nos estudos dessa disciplina. Assim, é
importante que esses jovens e adultos
possam ler e escrever pequenos textos
relatando suas conclusões, justificando
as hipóteses que levantam – não
importa se de forma correta ou não.
Também o auto-conceito que cada
pessoa faz de sua “capacidade
matemática” é um dos fatores
relevantes do sucesso ou do fracasso de
sua aprendizagem. Por esse motivo, é
necessário que os estudantes percebam
que são capazes de resolver problemas,
de raciocinar, como fazem,
cotidianamente, na sua luta pela
sobrevivência, e que relacionem suas
estratégias de solução com as propostas
pelas formas canônicas da matemática.
Finalmente, o significado da
Matemática para um jovem ou um
adulto deve ser ampliado para que ele
compreenda que o mesmo resulta de
conexões entre os diferentes temas
matemáticos e as demais áreas do
conhecimento e as situações do
cotidiano.
Assim, o estabelecimento de relações é
fundamental para que o estudante
compreenda efetivamente os conteúdos
matemáticos, pois, abordados de forma
isolada, eles não se tornam uma
ferramenta eficaz para resolver
problemas e para a aprendizagem/
construção de novos conceitos.
Perrenoud explicita essa idéia.
A supremacia do conhecimento
fragmentado de acordo com as
disciplinas impede freqüentemente que
se opere o vínculo entre as partes e a
totalidade, e deve ser substituída por um
modo de conhecer capaz de apreender os
objetos em seu contexto, sua
complexidade, seu conjunto.
Para dimensionar o papel da Matemática
na formação de um jovem ou de um
adulto é importante que se discuta, de
um lado, a natureza desse conhecimento,
suas características principais e seus
métodos particulares; de outro, é
fundamental discutir suas articulações
com outras áreas de conhecimento e
suas efetivas contribuições para a
formação da cidadania e para a
constituição de sujeitos da
aprendizagem.
MATEMÁTICA: A NATUREZA DE
UM CONHECIMENTO MILENAR
A Matemática compõe-se de um
conjunto de conceitos e procedimentos
que engloba métodos de investigação e
raciocínio, formas de representação e
comunicação. Compõem-na tanto os
seus modos próprios de compreender,
atuar, organizar e indagar o mundo,
construídos historicamente, como o
conhecimento gerado nesses processos
de interação do homem com os
contextos naturais, sociais e culturais.
A Matemática tem sido considerada
muitas vezes como um corpo de
conhecimento imutável e verdadeiro, que
deve ser assimilado pelo sujeito. No
entanto, ela é uma ciência viva, tanto no
cotidiano dos cidadãos, como nos
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42
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
centros de pesquisa ou de produção de
novos conhecimentos, os quais têm-se
constituído instrumentos úteis na
solução de problemas científicos e
tecnológicos, em diferentes áreas do
conhecimento. Jovens e adultos precisam
de informações adequadas que lhes
permitam conceber a Matemática dessa
forma, para encará-la sem medo e sem os
preconceitos tão comuns. Eles podem
construir uma relação mais rica com o
conhecimento matemático na medida em
que descobrirem que a Matemática se
aplica às mais variadas atividades
humanas – das mais simples utilizações
na vida cotidiana às mais complexas
elaborações de outras ciências.
É interessante observar que, mesmo entre
matemáticos, nem sempre há consenso
quanto à natureza do conhecimento da
área. A esse respeito, podemos destacar o
que Davis & Hersh (1986) apresentam
sobre os dogmas-padrão presentes em
qualquer discussão sobre os fundamentos
da matemática, ou seja, o Platonismo, o
Formalismo e o Construtivismo.
Segundo o Platonismo, os objetos
matemáticos são reais. Sua existência é
fato objetivo, totalmente independente
de nosso conhecimento sobre eles. Estes
objetos não são, naturalmente, físicos ou
materiais. Existem fora do espaço e do
tempo da experiência física. São
imutáveis – não foram criados e não
mudarão ou desaparecerão. Citando
Thom (1971), adepto entusiasta do
platonismo, aqueles autores destacam a
seguinte afirmação:
Levando tudo em conta, os matemáticos
deveriam ter a coragem de suas
convicções mais profundas ao afirmar
assim que as formas matemáticas têm,
com efeito, uma existência que é
independente da mente que as
contempla. No entanto, a qualquer
tempo, os matemáticos têm somente
uma visão incompleta e fragmentária
deste mundo das idéias (ibid, p. 360).
Já para o Formalismo, não há objetos
matemáticos. A Matemática consiste
somente de axiomas, definições e
teoremas, em outras palavras, fórmulas.
Em uma visão extrema, existem regras
por meio das quais se deduz uma
fórmula da outra, mas as fórmulas não
se referem à coisa alguma, eles são
somente cadeias de símbolos.
Se por um lado, formalistas e platonistas
estão em extremos opostos do problema
da existência e da realidade, por outro,
ambos não discutem por que os
princípios de raciocínio deveriam ser
admissíveis na prática matemática.
Opostos a ambos estão os construtivistas
que consideram matemática genuína
somente o que pode ser obtido por uma
construção finita.
Há, portanto, maneiras diferentes e
controversas no que diz respeito ao que
vêm a ser a matemática e o pensamento
matemático. Evidentemente, também não
há concordância absoluta quando se
discutem propostas para o ensino e a
aprendizagem dessa disciplina.
A ATIVIDADE MATEMÁTICA COMO CRIAÇÃO,
PRODUÇÃO, FABRICAÇÃO
Em parte significativa da produção
didática para o ensino de Matemática,
podem-se perceber alguns consensos.
Em primeiro lugar, a atividade
matemática da sala de aula passa a ser
vista não mais como o olhar e o
desvelar, mas como a criação, a
produção, a fabricação.
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43
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
Em segundo lugar, os conceitos
matemáticos não são mais entendidos
como sendo transmitidos hereditariamente,
como dom, ou socialmente, como capital
cultural, mas, sim, como o resultado de um
trabalho do pensamento – o dos
matemáticos, no curso da história, e o do
aluno, no curso de sua aprendizagem.
Um outro aspecto que agrega um grande
número de adeptos refere-se ao
compromisso com a democratização do
ensino dessa disciplina, o que supõe o
rompimento com uma concepção elitista
de um universo matemático que existiria
em si mas que só seria acessível a
algumas pessoas. Hoje se pensa a
atividade matemática como um trabalho
acessível a todos, desde que se atendam
certas orientações pedagógicas.
Há, atualmente, uma grande preocupação
no sentido de desfazer dois mitos: o
primeiro, do tipo biológico/genético,
segundo o qual “Matemática é algo para
quem tem dom”, para quem é
geneticamente dotado de certas qualidades;
outro, do tipo sociológico, segundo o qual é
preciso ter um capital cultural para atingir o
universo matemático.
Contrapor o “trabalho” à dupla “dom/
capital” é um desafio a que se responde
pela idéia de que fazer matemática é
fundamental. Isso significa não mais
receber coisas prontas para memorizar, e
sim desenvolver um trabalho em que o
pensamento constrói conceitos. Ao
resolver problemas partindo de conceitos
já construídos, levantando hipóteses,
testando-as, fazendo transferências, é que
os conceitos matemáticos se constroem.
Nesse contexto, as investigações
predominantes hoje são as que buscam,
de um lado, explicações sobre os
processos pelos quais os conceitos
matemáticos se formam e se
desenvolvem, fornecendo o quadro das
características próprias da atividade
matemática na história. De outro lado,
buscam a compreensão dos processos
gerais do pensamento presentes na
construção do conhecimento
matemático de cada indivíduo.
Desse modo, quer na explicitação da
formação histórica dos conceitos e
processos matemáticos, de suas
contradições, rupturas, reestruturações,
do desenvolvimento e interrelações dos
vários campos da matemática, quer na
explicação da formação dos conceitos
pelos indivíduos, a presença da
Epistemologia no campo da Didática da
Matemática fica patente e mostra que
são dois campos inseparáveis em
qualquer reflexão sobre o ensino.
Ainda sobre essa questão, Charlot
(1987) considera que as concepções
tradicionais de aprendizagem da
Matemática baseavam-se em um
conjunto de crenças que resume da
seguinte forma:
O matemático revela as verdades e o
professor deve dirigir o ‘olhar da alma’
do estudante para essas verdades. Em
conseqüência, o que o professor retira
da atividade do matemático não é mais
a atividade, ela mesma, que muito mais
freqüentemente ele próprio ignora, ou
quando não silencia, mas são os
resultados dessa atividade, os teoremas,
as demonstrações, as definições, os
axiomas. O professor é também levado a
supervalorizar a forma na qual esses
resultados são apresentados.
De acordo com as tendências mais
recentes, o rigor de pensamento e a
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Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
correção do vocabulário não se colocam
como exigências impostas ao estudante.
Eles continuam sendo um dos objetivos
essenciais da aprendizagem matemática,
mas adquirem novos contornos: o rigor,
em si mesmo não faz sentido, ou seja,
espera-se que o estudante possa usar a
linguagem matemática não de forma
arbitrária mas como uma necessidade de
quem deseja comunicar os resultados de
sua atividade e também defendê-los
diante das contestações.
Outro aspecto relevante e
constantemente reforçado é o de que o
ponto de partida da atividade
matemática não é a definição, mas o
problema. Esse problema não é
certamente um exercício em que o aluno
deve aplicar, de forma quase mecânica,
uma fórmula ou um procedimento.
Espera-se que o aluno possa enfrentar o
problema interpretando-o e estruturando
a situação em que é apresentado. Além
disso, é preciso que ele não só encontre
respostas para uma questão mas também
e, principalmente, saiba formular a
questão pertinente quando se encontra
diante de uma situação problemática.
A recompensa de um problema resolvido
não é apenas a sua solução, mas a
satisfação do indivíduo em resolvê-lo
por seus próprios meios, é a imagem
que ele pode ter de si mesmo, como
alguém capaz de resolver problemas, de
fazer matemática, de aprender.
Portanto, importa também que o aluno
forme uma imagem positiva de si diante
da Matemática, do saber escolar, do
mundo adulto, do futuro.
Desse modo, destacam-se além dos
aspectos psicológicos e culturais, o
enfoque social e político, na medida em
que se ressalta a importância de
desenvolver nos alunos a capacidade de se
posicionar diante das estatísticas, das
pesquisas, dos índices, das tabelas, dos
gráficos, da utilização da argumentação
matemática nos discursos sociais e
políticos, fazendo com que não sejam
levados a conceber a Matemática como
um universo muito particular e inacessível.
É, enfim, a aprendizagem matemática
repousando sobre uma concepção de
homem e de suas relações diante do saber,
da cultura, da história e dos outros
homens. Como afirma Santos (1988):
Todo conhecimento é autoconhecimento:
a ciência moderna consagrou o homem
enquanto sujeito epistêmico mas
expulsou-o, tal como a Deus, enquanto
sujeito empírico. Um conhecimento
objetivo, factual e rigoroso não tolerava a
interferência dos valores humanos ou
religiosos. Foi nessa base que se construiu
a distinção dicotômica sujeito/objeto.
Hoje o objeto é a continuação do sujeito,
por outros meios (…). No futuro não se
tratará tanto de sobreviver como de saber
viver. Para isso, é necessária uma outra
forma de conhecimento, um
conhecimento compreensivo e íntimo que
não nos separe e antes nos una
pessoalmente ao que estudamos.
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
MATEMÁTICAS EM DISCUSSÃO
As reflexões sobre o conhecimento
matemático, sua natureza, seu papel na
sociedade hoje, sua construção
individual e coletiva trazem para a
educação de jovens e adultos o desafio
de refletir a respeito da colaboração que
a Matemática tem a oferecer com vistas
à formação da cidadania. Ou seja, sua
contribuição para a constituição de
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III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
condições humanas de sobrevivência,
para a inserção das pessoas no mundo
do trabalho, das relações sociais e da
cultura, com o desenvolvimento de
posicionamento crítico e propositivo
diante das questões sociais.
Nesse sentido, é fundamental que
jovens e adultos sejam estimulados a
construir competências como as que
serão destacadas e comentadas a seguir.
1. Compreender a matemática como
construção humana, relacionando o seu
desenvolvimento com a transformação
da sociedade.
A importância da constituição desta
competência tem como justificativa a
necessidade de que o conhecimento
matemático seja percebido pelo estudante
como historicamente construído. No
entanto, não basta o estudante
compreender os fatos históricos. É
também necessário que ele faça ligações e
tome como referência os conceitos
decorrentes das vivências pessoais e
interações sociais. Jovens e adultos têm
conhecimentos bastante diversificados e
podem enriquecer a abordagem escolar
formulando questionamentos,
confrontando possibilidades, propondo
alternativas a serem consideradas.
No que se refere à Matemática, muitos
jovens e adultos, mesmo com pouca
escolarização, dominam noções
matemáticas que foram aprendidas de
maneira informal ou intuitiva nas suas
vivências práticas. Espera-se que
possam ressignificar essas noções,
utilizando representações simbólicas
convencionais, e construindo relações
mais amplas.
Os estudantes devem reconhecer a
relevância dos saberes assim
constituídos, como também relacionálos à utilização em outros contextos
internos da própria matemática e em
problemas históricos.
O reconhecimento desses saberes é
fundamental para compor a malha de
significados de muitos conteúdos a serem
estudados, embora seja importante
considerar que esses significados também
devem ser explorados em outros
contextos, como por exemplo, nas
questões internas da própria Matemática e
em problemas históricos.
2. Ampliar formas de raciocínio e
processos mentais por meio de intuição,
dedução, analogia e estimativa, utilizando
conceitos e procedimentos matemáticos.
No geral, acredita-se que a Matemática é
a ciência do certo ou errado, em que
aquilo que conta é saber antecipadamente
como resolver um dado problema. Ao
valorizar a prática dos processos
heurísticos de pensamento, pretende-se
que o estudante desenvolva a autonomia
para pensar e resolver problemas.
Nas situações gerais de aprendizagem,
mas principalmente na EJA, o
desenvolvimento dessa competência
depende do envolvimento do estudante
em processos de raciocínio e
argumentação lógica que permitem criar
uma cultura positiva em relação à
matemática, muito diferente daquela em
que se valorizam apenas procedimentos
algorítmicos e respostas rápidas e certas.
3. Construir significados e ampliar os já
existentes para os números naturais,
inteiros e racionais.
O pensamento numérico é sem dúvida
uma das importantes balizas do
conhecimento matemático. Desse
modo, é necessário que o sujeito não
Matem∙tica 39-75.pmd 45 11/7/2003, 09:21
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Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
apenas amplie mas também construa
novos significados para os números
naturais, inteiros e racionais.
Essa ampliação se verifica tanto quando
o estudante realiza a exploração de
situações presentes no contexto social,
como pela análise de alguns problemas
históricos que motivaram sua
construção. Espera-se que o aluno
construa significados numéricos
mediante resolução de situaçõesproblema (articuladas ao cotidiano) que
envolvem números naturais, inteiros,
racionais, ampliando suas formas de
raciocínio. Essa competência refere-se
também à possibilidade que tem o aluno
de identificar, interpretar e utilizar as
diferentes representações dos números
naturais, racionais e inteiros indicados
por diferentes noções.
4. Utilizar o conhecimento geométrico
para realizar a leitura, a representação
da realidade e agir sobre ela.
A constituição de um pensamento
geométrico a partir de contextos que
envolvam a leitura de guias, plantas e
mapas e a exploração de conceitos e
procedimentos (tais como direção e
sentido, ângulo, paralelismo e
perpendicularismo, figuras geométricas,
relações entre figuras espaciais e suas
representações planas, decomposição e
composição de figuras, transformação
de figuras, ampliação e redução de
figuras) é de enorme importância para o
exercício da cidadania.
O estudo do espaço e das formas deve
levar o estudante à observação, à
compreensão de relações e à utilização
das noções geométricas para resolver
problemas e não à simples memorização
de fatos e de um vocabulário específico.
A percepção dos aspectos estéticos da
geometria e a sua relação com contextos
ricos e estimulantes, como os da natureza,
da arte e da arquitetura, devem
possibilitar o estabelecimento de vínculos
positivos entre o aluno e matemática.
5. Construir e ampliar noções de grandezas
e medidas para a compreensão da realidade
e a solução de problemas do cotidiano.
Talvez um dos mais férteis assuntos
para o estabelecimento de conexões
seja o estudo de grandezas e medidas.
Por um lado os estudantes devem, com
base em contextos práticos que
envolvam a atividade matemática, usar
estratégias de estimativa, de julgamento
sobre o grau de exatidão, utilização
adequada de instrumentos específicos
(como balanças, relógios, escalímetro,
transferidor, esquadro, trenas,
cronômetros) e seleção de instrumentos
e de unidades de medida adequadas à
exatidão desejada. Por outro lado
devem estabelecer articulações com
outros temas matemáticos, sejam eles
geométricos, algébricos, numéricos,
estatísticos etc.
6. Construir e ampliar noções de
variação de grandezas para a
compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
A idéia de proporcionalidade, ao lado de
outras idéias, como, por exemplo, a de
equivalência e a de igualdade,
constituem verdadeiros eixos
vertebradores do conhecimento
matemático. A proporcionalidade
aparece na resolução de problemas
multiplicativos, nos estudos de
porcentagem, de semelhança de figuras,
na matemática financeira, na análise de
tabelas, gráficos e funções.
Matem∙tica 39-75.pmd 46 11/7/2003, 09:21
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III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
Desenvolver a capacidade de analisar a
natureza da interdependência de duas
grandezas em situações-problema em
que elas sejam diretamente
proporcionais, inversamente
proporcionais, ou não proporcionais é
uma competência fundamental para
resolver problemas diversos. Além disso,
é também importante saber explorar
esses problemas e expressar sua variação
por meio de uma sentença algébrica,
evidenciando uma das importantes
funções da álgebra.
7. Construir e utilizar conceitos algébricos
para modelar e resolver problemas.
A abordagem de determinados conceitos
fundamentais na construção/aquisição de
conhecimentos matemáticos é muitas
vezes suprimida ou excessivamente
abreviada sob a alegação de que “não
fazem parte da realidade dos alunos ou
não têm uma aplicação prática imediata”.
Tal alegação muitas vezes se baseia numa
visão estereotipada da “realidade”, do
potencial de jovens e adultos, e numa
concepção reducionista da própria
Matemática, cuja importância parece ficar
restrita à sua “utilidade prática”.
É importante que o conhecimento
matemático construído ao longo da vida
de cada pessoa não fique vinculado apenas
a um contexto concreto e único, mas que
possa ser generalizado e transferido a
outros contextos. Um conhecimento só é
pleno se for mobilizado em situações
diferentes daquelas que serviram para lhe
dar origem, sendo transferível para novas
situações, em outras palavras, os
estudantes devem perceber que os
conhecimentos podem ser
descontextualizados, e novamente
contextualizados em outras situações. Para
tanto, o desenvolvimento de um
pensamento algébrico pelo estudante é
primordial.
8. Interpretar informações de natureza
científica e social obtidas da leitura de
gráficos e tabelas, realizando previsão
de tendência, extrapolação,
interpolação e interpretação.
No mundo atual, é fundamental que os
estudantes compreendam as informações
estatísticas representadas de diferentes
formas e possam interpretar
adequadamente seus significados,
permitindo tomar decisões diante de
questões políticas e sociais que dependem
da leitura crítica e interpretação de índices
divulgados pelos meios de comunicação.
9. Compreender conceitos e estratégias
e situações matemáticas numéricas para
aplicá-los a situações diversas no
contexto das ciências e da tecnologia e
da atividade cotidiana.
Saber Matemática, hoje, é cada vez mais
necessário, pois ela se faz presente tanto
na quantificação do real – contagem,
medição de grandezas – como criando
sistemas abstratos que organizam, interrelacionam e revelam fenômenos do
espaço, do movimento, das formas e dos
números associados quase sempre a
fenômenos do mundo físico.
Com o advento das calculadoras e
computadores que permitem maior
rapidez na realização dos cálculos
numéricos ou algébricos, torna-se cada
vez mais ampla a gama de problemas
que podem ser resolvidos por meio do
conhecimento matemático.
A educação matemática para a cidadania
supõe tornar os indivíduos capazes de
usar metodologias que enfatizem a
construção de estratégias, a comprovação
e justificativa de resultados, a
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48
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
criatividade, a iniciativa pessoal, o
trabalho coletivo e a autonomia advinda
da confiança na própria capacidade para
enfrentar desafios.
ALGUMAS CONCLUSÕES
Matemáticos em todo o mundo têm
chamado atenção para o fato de que há
uma mudança de suas prioridades na
medida em que o mundo passa por
transformações e as sociedades tomam
outros rumos passando a requerer do
sujeito novas competências.
Da mesma forma, educadores matemáticos
devem estar atentos ao fato de que, no
ensino dessa disciplina, as prioridades
também mudam. Inovar os currículos, as
práticas, as formas de abordar os
conteúdos pode evitar o risco de que
jovens e adultos vejam a Matemática
como conhecimento alienado e
desinteressante.
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50
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
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51
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
A Matemática é uma criação cultural da
humanidade ligada à necessidade de o
homem resolver problemas cotidianos,
problemas advindos do
desenvolvimento cultural e tecnológico
e problemas internos à própria
Matemática. É uma ciência que possui
um vasto corpo de práticas e conceitos
que se mantêm em construção.
Como criação cultural, a Matemática é,
em essência, resultado da reflexão do
homem sobre a realidade que permite
melhor compreender essa realidade. Daí,
considerar-se como elementos
predominantes no conhecimento
matemático, a ser desenvolvido no
Ensino Médio, uma maior reflexão sobre
fatos reais e a realização de abstrações
decorrentes dessas reflexões, de modo a
garantir a funcionalidade desse
conhecimento.
A posição de que o ensino de
Matemática tem como função preparar
cidadãos para agir de maneira crítica e
consciente em uma sociedade altamente
complexa é a que prevalece tanto nos
documentos oficiais como entre
educadores matemáticos brasileiros.
Passou-se do que ensinar ao como
ensinar, bem como ao porquê ensinar
em uma perspectiva sociocultural
visando à formação da cidadania:
Defende-se a necessidade de
contextualizar o conhecimento
matemático a ser transmitido, buscar suas
origens, acompanhar sua evolução,
explicitar sua finalidade ou seu papel na
realidade do aluno. É claro que não se
quer negar a compreensão, nem tampouco
desprezar a aquisição de técnicas, mas
ampliar a repercussão que o aprendizado
daquele conhecimento possa ter na vida
social daquele que o aprende.
(Fonseca,1995, p. 53)
A contextualização evoca os elementos
presentes na vida pessoal, social e
cultural mobilizando conhecimentos
disponíveis, possibilitando o
desenvolvimento de competências. A
necessidade da contextualização do
A Matemática no Ensino Médio
Maria Silvia B. Sentelhas
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52
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
conhecimento matemático coloca em
evidência o fato de que muitas das
questões originárias da Matemática
surgiram de questões não matemáticas e
que parte importante de sua produção
tem utilização em todos os ramos do
conhecimento.
Destaca-se a importância de, no ensino
e na avaliação, não tratar a Matemática
de modo isolado e desvinculado das
exigências de ação do sujeito fora da
escola. Tanto assim que a Lei 9394/96,
que estabelece as diretrizes e bases da
Educação Nacional (LDB), ao apresentar
as diretrizes específicas para os
currículos do ensino médio (Art.36,
incisos e parágrafos), estabelece a
inserção da Matemática na área de
Ciências da Natureza.
O PARECER CEB 15/98 QUE ESTABELECE AS
DIRETRIZES CURRICULARES NACIONAIS PARA O
ENSINO MÉDIO EXPLICA ESSA INSERÇÃO:
O agrupamento das ciências da natureza
tem ainda o objetivo de contribuir para a
compreensão do significado da ciência e
da tecnologia na vida humana e social de
modo a gerar protagonismo diante das
inúmeras questões políticas e sociais para
cujo entendimento e solução as ciências
da natureza são uma referência relevante.
A presença da Matemática nessa área se
justifica pelo que de ciência tem a
matemática, pela sua afinidade com as
ciências da natureza, conhecimentos
destas últimas, e finalmente pela
importância de integrar a matemática
com os conhecimentos que lhe são mais
afins. (p. 59)
OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O
ENSINO MÉDIO EXPLICITAM A NECESSIDADE DO
TRATAMENTO INTEGRADO DAS DISCIPLINAS DA ÁREA:
Os objetivos do Ensino Médio em cada
área do conhecimento devem envolver,
de forma combinada, o desenvolvimento
de conhecimentos práticos,
contextualizados, que respondam às
necessidades da vida contemporânea, e o
desenvolvimento de conhecimentos mais
amplos e abstratos, que correspondam a
uma cultura geral e a uma visão de
mundo. Para a área das Ciências da
Natureza, Matemática e Tecnologias, isto
é particularmente verdadeiro, pois a
crescente valorização do conhecimento e
da capacidade de inovar demanda
cidadãos capazes de aprender
continuamente, para o que é essencial
uma formação geral e não apenas um
treinamento específico. (MEC, 1998, p. 6)
A contextualização do conhecimento
matemático e o tratamento
interdisciplinar proposto para seu ensino e
aprendizagem são imprescindíveis quando
se tem por objetivo o desenvolvimento de
competências humanas relacionadas a
esse conhecimento, tal como proposto
pela LDB/96.
A ÁREA MATEMÁTICA NO ENCCEJA
As discussões realizadas pelos
proponentes do ENCCEJA quanto à
realização de uma prova, com questões de
múltipla escolha, visando a avaliar as
competências relativas às áreas de
conhecimento ou disciplinas que
compõem a educação básica, sempre
esbarravam na dificuldade – pelo número
excessivo de questões – de se considerar
nessa avaliação a área de Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
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53
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
A especificidade própria da Educação de
Jovens e Adultos (EJA) e os princípios
que norteiam o Exame Nacional de
Certificação de Competências de Jovens
e Adultos – (ENCCEJA) levaram à
constituição da área Matemática, Encceja
– Ensino Médio separada da área das
Ciências da Natureza. O parágrafo único
do artigo 5º da Resolução CNE/CBE 1/
2000, que estabelece as Diretrizes
Curriculares Nacionais da EJA,
fundamenta essa alteração:
Parágrafo único: como modalidade
destas etapas da Educação Básica, a
identidade própria da Educação de
Jovens e Adultos considerará as
situações, os perfis dos estudantes, as
faixas etárias e se pautará pelos
princípios de eqüidade, diferença e
proporcionalidade na apropriação e
contextualização das diretrizes
curriculares nacionais e na proposição
de um modelo pedagógico próprio, de
modo a assegurar:
I – quanto à eqüidade, a distribuição
específica dos componentes curriculares
a fim de propiciar um patamar
igualitário de formação e restabelecer a
igualdade de direitos e de oportunidades
face ao direito à educação;
II – quanto à diferença, a identificação e o
reconhecimento da alteridade própria e
inseparável dos jovens e dos adultos em
seu processo formativo, da valorização do
mérito de cada qual e do desenvolvimento
de seus conhecimentos e valores;
III – quanto à proporcionalidade, a
disposição e alocação adequadas dos
componentes curriculares face às
necessidades próprias da Educação de
Jovens e Adultos com espaços e tempos
nos quais as práticas pedagógicas
assegurem aos seus estudantes
identidade formativa comum aos demais
participantes da escolarização básica.
Esta separação se dá apenas do ponto
de vista prático para viabilizar a
realização das provas pelos alunos. O
tratamento dado à área Matemática
nesse projeto respeita e mantém as
características propostas nos
documentos oficiais referentes ao
Ensino Médio.
O tratamento de caráter interdisciplinar
dado neste trabalho procura estimular a
percepção da contribuição da
Matemática para a compreensão da
problemática ambiental e para o
desenvolvimento de uma visão
articulada do ser humano em seu meio
natural como construtor e
transformador deste meio. Desse modo,
há uma estreita relação entre as áreas de
Ciências da Natureza, Ciências Humanas
e Linguagens e Códigos e a visão de
formação integral do sujeito. O
desenvolvimento de competências e
habilidades é um meio de proporcionar
essa formação integral.
Ao defender a aprendizagem de
conteúdos de Matemática articulada com
o desenvolvimento de competências,
assumimos que trabalhar para o
desenvolvimento de competências não se
limita a torná-las desejáveis propondo
uma imagem convincente de seu
possível uso, nem ensinando a teoria,
deixando entrever sua colocação em
prática. Trata-se de “aprender, fazendo, o
que não se sabe fazer”. (Perrenoud,
1999, p. 55)
Consideramos que a resolução de
problemas é a abordagem metodológica
que pode potencializar o
desenvolvimento de competências:
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54
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
No campo da educação escolar, praticar
mais e mais não é o suficiente. Até no
campo das artes, dos esportes ou dos
ofícios, em que o exercício constante é
indispensável, é preciso confrontar-se
com dificuldades específicas, bem
dosadas, para aprender a superá-las. No
campo dos aprendizados gerais, um
estudante será levado a construir
competências de alto nível somente
confrontando-se, regular e intensamente,
com problemas numerosos que mobilizem
diversos recursos cognitivos.
(Parrenoud, 1999, p. 57)
É preciso, no entanto, evitar confusões
sobre a noção de problema. Nessa
proposta, é considerado problema uma
situação que coloca o aprendiz diante de
uma série de decisões a serem tomadas
para alcançar um objetivo proposto,
devendo oferecer uma resistência
suficiente de modo que o sujeito invista
não só seus conhecimentos disponíveis
como também suas representações.
Os problemas também podem ser
situações de aprendizagem organizadas
de modo a possibilitar a aquisição de
novos conhecimentos. Deve ser um
problema imerso em uma situação que
lhe dê sentido, não um problema
artificial e descontextualizado:
Os problemas escolares tendem a ser
apresentados, efetivamente, como
enunciados perfeitamente elaborados cujos
textos costumam esconder a problemática
que lhes deu origem. Isso acontece a tal
ponto que poderíamos falar de um autêntico
“desaparecimento” das questões ou das
tarefas reais que originaram as obras
matemáticas estudadas na escola.
(Chevallard, Bosch e Gascon, 2001, p. 130)
Os jovens e adultos envolvidos nesse
processo trazem uma carga de
experiências e de expectativas de
inserção ou de ascensão no mercado de
trabalho que devem ser consideradas, ao
se pensar a contextualização dos
problemas. Predomina neste trabalho o
contexto de vivência cotidiana da
maioria das pessoas. Aproveitamos o que
aprenderam no convívio da família, nos
agrupamentos sociais, com a televisão e
com outros meios de comunicação para
colocar em relevo as ações de cunho
matemático que ocorrem no cotidiano
das pessoas. Da valorização desses
saberes partimos para uma proposta em
que são possibilitadas ao sujeito
melhores condições de decodificar,
analisar o que os meios de comunicação
e as demais instâncias ensinam.
Colocamos em relevo a relação
pragmática com o saber, seu uso
imediato prevalece sobre a organização
metódica dos conhecimentos.
Entendemos que esse é um modo da
Matemática contribuir para a inserção do
jovem ou adulto na sociedade que o
marginalizou porque, para essa
sociedade, não dispunha de
competências para participar de seu
processo produtivo.
Nessa ótica, procuramos evidenciar a
importância de se desenvolver o
conhecimento matemático, ligando-o a
uma verdadeira necessidade de sua
utilização para responder a questões ou
para realizar tarefas exigidas pela
sociedade complexa na qual estamos
inseridos.
É preciso mudar radicalmente o ponto
de vista: sair da 3ª série do 2º grau
(especialmente do interesse real ou
presumido dos alunos que vão fazer um
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55
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
curso técnico ou, então cursos
superiores de “exatas”) para se pôr no
lugar dos alunos que deixam a escola,
por uma razão ou por outra, antes de
chegar até lá, coisa que ocorre com 88%
dos que ingressam juntos na escola a
cada ano. Para essa imensa maioria, é
necessário que a Matemática tenha
aplicação prática e que esta seja tão
imediata e diretamente percebida
quanto possível, como, aliás, o
aprendizado da leitura e da escrita.
(Cunha, 1993, p. 181)
No entanto, ressaltamos que o ensino e
a aprendizagem de Matemática, na
Educação de Jovens e Adultos do Ensino
Médio, mesmo que envolvidos com a
realidade, não devem prescindir de
reflexões, abstrações e definições.
COMPETÊNCIAS DA ÁREA
As nove competências de área indicam
os conhecimentos matemáticos a serem
avaliados nas provas do ENCCEJA.
1. Compreender a Matemática como
construção humana, relacionando seu
desenvolvimento com a transformação
da sociedade.
O reconhecimento da evolução dos
registros e conhecimentos matemáticos
usados nas soluções de problemas que o
homem enfrentou em seu cotidiano desde
o início de sua história e a identificação
do conteúdo matemático que permitiu sua
solução e como esse conteúdo é aplicado
nas situações cotidianas de nosso tempo,
é um modo de avaliar essa competência.
Em situações propostas o estudante deve
saber identificar e interpretar, a partir da
leitura de textos apropriados, diferentes
registros do conhecimento matemático ao
longo do tempo, e, também, identificar o
recurso matemático utilizado pelo
homem, ao longo da história, para
enfrentar e resolver problemas.
A contribuição da Matemática no
desenvolvimento de outras áreas do
conhecimento, sempre que a
humanidade tem seu interesse voltado
para o estudo dos fenômenos que
observa ocorrerem ao seu redor, também
deve ser avaliada, bem como questões
que surgiram dentro da própria
Matemática que impulsionaram seu
desenvolvimento e de outras áreas,
permitindo ao estudante reconhecer a
contribuição da Matemática na
compreensão e análise de fenômenos
naturais, e da produção tecnológica ao
longo da história.
Situações-problema em que se valoriza a
utilização de conteúdos matemáticos
como recurso para a argumentação e
viabilização de intervenção na
comunidade permitem que se identifique
a Matemática como importante recurso
para a construção de argumentação e
que se reconheça, a partir da leitura de
textos apropriados, a importância da
Matemática na elaboração de proposta
de intervenção solidária na realidade.
2. Ampliar formas de raciocínio e
processos mentais por meio de indução,
dedução, analogia e estimativa, utilizando
conceitos e procedimentos matemáticos.
A importância dessa competência na
atividade matemática reside na habilidade
de formular hipóteses e conjecturas para
depois examinar sua validade e, se
necessário, reformulá-las. Trata-se de
raciocinar com o provável para
desenvolver o pensamento matemático
plausível. Este complementa o raciocínio
dedutivo que utiliza leis lógicas para
demonstrar resultados matemáticos.
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56
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Para avaliar essa competência algumas
situações são apresentadas com o
objetivo de verificar se o estudante
utiliza procedimentos matemáticos em
diferentes circunstâncias, de modo a
identificar e interpretar conceitos e
procedimentos matemáticos expressos
em diferentes formas.
Outras situações são propostas para
permitir ao estudante utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos para
explicar fenômenos ou fatos do
cotidiano.
O emprego de procedimentos
matemáticos na construção de
raciocínios pode ser avaliado pela
habilidade do estudante em utilizar
conceitos e procedimentos matemáticos
para construir formas de raciocínio que
permitam aplicar estratégias para a
resolução de problemas.
Destacando-se a diferença entre as
conclusões obtidas de modo formal em
Matemática e as conclusões e decisões
do cotidiano que são aceitáveis,
possibilita-se a avaliação da habilidade
de identificar e utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos na
construção de argumentação consistente.
Situações-problema de realidade
cotidiana permitem aferir a habilidade
do estudante em reconhecer a adequação
da proposta de ação solidária, utilizando
conceitos e procedimentos matemáticos.
3. Construir significados e ampliar os já
existentes para os números naturais,
inteiros, racionais e reais.
O uso cotidiano dos números deve ser
avaliado na forma como são expressos
nas situações socioculturais. O objetivo
é verificar se o aluno sabe identificar,
interpretar e representar os números
naturais, inteiros, racionais e reais.
O conhecimento que as pessoas
adquirem ao resolverem os problemas
que se apresentam em diferentes
situações da atividade humana deve ser
ampliado. Situações nas quais a
compreensão dos conceitos e das
relações envolvidas e a identificação de
regularidades possibilitam construir e
aplicar conceitos de números naturais,
inteiros, racionais e reais, para explicar
fenômenos de qualquer natureza, são
adequadas para verificar essa ampliação.
Da análise de experiências práticas
emergem noções intuitivas dos números
e suas operações. A familiaridade do
estudante com diferentes representações
dos números pode levá-lo a perceber
qual é mais adequada para expressar um
resultado, evitando-se desenvolver um
tratamento exclusivamente formal. No
entanto, a verificação da irracionalidade
de um dado número só é possível no
âmbito da própria Matemática. Nenhuma
verificação empírica, nenhuma medição
de grandezas, por mais precisa que seja,
provará que uma medida tem valor
irracional. Porém, para o número p, uma
discussão sobre a razão entre o
comprimento de uma circunferência e
seu diâmetro é uma possibilidade de
conduzir o leitor na interpretação desse
resultado. Com essa abordagem o que se
busca verificar é se o aluno sabe
interpretar informações e operar com
números naturais, inteiros, racionais e
reais, para tomar decisões e enfrentar
situações-problema.
Situações de estimativa ou de
enquadramento de resultados são uma
forma de desenvolver e avaliar a
habilidade de utilizar os números
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57
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
naturais, inteiros, racionais e reais, na
construção de argumentos sobre
afirmações quantitativas de qualquer
natureza. Discussões nas quais as
comparações numéricas são destacadas
possibilitam a compreensão de expressões
como “os números falam por si”.
Diversos problemas que a humanidade
enfrenta hoje são quantificados e
apresentados numericamente. A análise de
problemas dessa natureza a partir da
avaliação dos números envolvidos é uma
forma de se indicar ao estudante qual pode
ser sua ação no sentido de contribuir para
a alteração da situação estudada. Desse
modo, propõe-se a verificação do
desenvolvimento da habilidade: recorrer à
compreensão numérica para avaliar
propostas de intervenção frente a
problemas da realidade.
4. Utilizar o conhecimento geométrico
para realizar a leitura e a representação
da realidade, e agir sobre ela.
A quarta competência da área refere-se
ao uso de formas e propriedades
geométricas na representação e
visualização de partes do mundo em que
estamos inseridos. Também se refere à
compreensão e ampliação da percepção
das relações existentes entre situações
que rotineiramente vivemos e a
geometria, cujos argumentos justificam
alguns usos e costumes adquiridos. A
construção de modelos é um dos
recursos que se tem para interpretar
questões e visualizar soluções. O objetivo
é avaliar se o estudante sabe identificar
e interpretar fenômenos de qualquer
natureza expressos em linguagem
geométrica e construir e identificar
conceitos geométricos no contexto da
atividade cotidiana.
O reconhecimento de semelhanças entre
objetos do mundo real com os entes
geométricos, a percepção das relações
entre representações planas e os objetos
que lhes deram origem e suas
propriedades a partir dessas
representações são essenciais para a
leitura do mundo. Ações envolvendo
essas relações permitem ao estudante
interpretar informações e aplicar
estratégias geométricas na solução de
problemas do cotidiano. Além disso, o
conhecimento de propriedades dos entes
geométricos fornece segurança nas
justificativas das soluções. As
justificativas são o ponto chave das
discussões realizadas sobre as soluções
dos problemas propostos. Essa é uma
forma de se aquilatar se o estudante
utiliza conceitos geométricos na seleção
de argumentos propostos como solução
de problemas do cotidiano.
Outro objetivo dessa competência é o
de indicar como a geometria pode ser
útil na solução de problemas do
cotidiano das pessoas, não importando
a comunidade a que pertençam. Seu
estudo pode fornecer os elementos
necessários para uma intervenção na
realidade de modo a melhorar as
condições de vida das pessoas e, assim,
poder recorrer a conceitos geométricos
para avaliar propostas de intervenção
sobre problemas do cotidiano.
5. Construir e ampliar noções de
grandezas e medidas para a
compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
Nesta competência valoriza-se o fato de
que as medidas quantificam grandezas
do mundo físico, e que conhecê-las e
saber tratar por meio delas as situações
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58
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
abundantes em nossa sociedade é de
fundamental importância.
Para utilizar bem as medidas é
necessário que a pessoa saiba recorrer a
registros das diversas unidades que
podem ser úteis no cotidiano, de modo a
identificar e interpretar registros de tal
modo que a notação convencional de
medidas possa ser desenvolvida.
As possibilidades de integração da
Matemática com outras áreas do ensino
são muitas quando se trata do assunto
grandezas e medidas. As grandezas de
fenômenos físicos ou sociais como
densidade, velocidade, energia elétrica,
densidade demográfica, escalas de mapas
e guias são exemplos dessas
possibilidades. Resolver situaçõesproblema dessa natureza permite
estabelecer relações adequadas entre os
diversos sistemas de medida. A
representação de fenômenos naturais e
do cotidiano são fundamentais para a
sua interpretação.
Situações em que o sujeito escolhe a
unidade de medida mais adequada para
cada grandeza considerada, em que
tenha de estabelecer relações entre as
medidas fornecidas e operar com essas
medidas são as que possibilitam avaliar
se ele sabe selecionar, compatibilizar e
operar com informações métricas de
diferentes sistemas ou unidades de
medida na resolução de problemas do
cotidiano.
A exploração dos significados e usos
adequados de diferentes formas de
mensuração, inclusive as não
padronizadas, em situações de tomada
de decisão e justificativas de escolha,
permitem verificar a habilidade de
selecionar e relacionar informações
referentes a estimativas ou outras
formas de mensuração de fenômenos de
qualquer natureza com a construção de
argumentação que possibilitem sua
compreensão.
Outro aspecto fundamental no trabalho
com medidas é o de colocar o estudante
em situação na qual com o emprego de
medidas e estimativas delas decorrentes
ele possa vislumbrar possibilidades de
interferir na realidade para modificá-la,
ou seja, reconhecer propostas
adequadas de ação sobre a realidade,
utilizando medidas e estimativas.
6. Construir e ampliar noções de
variação de grandeza para a
compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
Comparações de grandezas como os
preços no supermercado, os ingredientes
de uma receita, a velocidade média e o
tempo são muito comuns em nosso diaa-dia. Situações-problema desse tipo são
apresentadas de modo a permitir ao
estudante estabelecer comparações e
perceber que existem formas de se prever
a variação de uma das grandezas se
conhecermos o comportamento de outra.
Outras situações são propostas para uso
de porcentagens. Essas situações
permitem verificar se o estudante
identifica grandezas direta e
inversamente proporcionais, interpreta a
notação usual de porcentagem, identifica
e avalia variações de grandezas para
explicar fenômenos naturais, processos
socioeconômicos e da produção
tecnológica.
Problemas de contexto variado
envolvendo grandezas de diversas
naturezas, direta ou inversamente
proporcionais, têm o objetivo de
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59
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
ampliar a percepção do estudante sobre
as diferentes situações nas quais esses
conceitos são aplicados e, com isso,
avaliar o desenvolvimento da habilidade
de resolver problemas envolvendo
grandezas direta e inversamente
proporcionais e porcentagem.
Para compreender, avaliar e decidir
sobre algumas situações da vida
cotidiana, tais como qual a melhor
forma de pagar uma compra ou de
escolher um financiamento, é necessário
conhecimento de juros simples e
compostos. Problemas com esses
contextos devem ser apresentados com o
objetivo de verificar se o aluno sabe
utilizar esses conhecimentos para agir
com segurança em situações semelhantes
que venha a viver. Esses problemas
possibilitam ainda avaliar se ele sabe
identificar e interpretar variações
percentuais de variável socioeconômica
ou técnico-científica como importante
recurso para a construção de
argumentação consistente.
O conhecimento de cálculos com
porcentagem e de relações entre grandezas
é um recurso bastante poderoso em nossa
sociedade. Para avaliar isso pode ser
interessante apresentar ao aluno situações
em que deve analisar dados e informações
reais, verificando se percebe sua
importância como elemento participativo
da comunidade.
7. Aplicar expressões analíticas para
modelar e resolver problemas,
envolvendo variáveis socioeconômicas
ou técnico-científicas.
Partindo de situações vividas pela
maioria das pessoas, busca-se dar
significado à linguagem e às idéias
matemáticas. Situações-problema
variadas vão permitir observar se o
estudante reconhece diferentes funções
da álgebra e sabe, assim, modelar e
resolver problemas utilizando equações e
inequações com uma ou mais variáveis.
A percepção da possibilidade de
representar fenômenos na forma algébrica
e na forma gráfica é colocada em
destaque. O uso de representações
gráficas em problemas de localização é
explorado como um conhecimento já
adquirido para se partir para as
representações analíticas em Matemática.
A partir de discussões sobre a leitura
dessas representações é possível avaliar se
o estudante é capaz de identificar e
interpretar representações analíticas de
processos naturais ou da produção
tecnológica e de figuras geométricas
como pontos, retas e circunferências, o
que constitui uma habilidade fundamental
não só para a Matemática como também
para as áreas de Ciências Humanas e de
Ciências da Natureza.
Com situações-problema bastante
diversificadas o estudante pode
desenvolver a capacidade de integrar os
conhecimentos relativos às tabelas,
expressões algébricas e representações
analíticas e, por esse meio, indicar se
compreende o significado e sabe realizar
operações com o uso dessas ferramentas.
Problemas nos quais o estudante possa
expressar-se de forma gráfica ou escrita,
nos quais valoriza a precisão da
linguagem matemática e o
reconhecimento de representações
equivalentes de um mesmo conceito,
relacionando procedimentos associados
às diferentes representações, são um
modo de avaliar a utilização da
modelagem analítica como recurso
importante na elaboração de
argumentação consistente.
Matem∙tica 39-75.pmd 59 11/7/2003, 09:21
60
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Situações nas quais o estudante
necessita interpretar informações
utilizando-se de ferramentas analíticas
para formar uma opinião própria que lhe
permita expressar-se criticamente sobre
problemas da atualidade permitem aferir
o desenvolvimento da habilidade de
avaliar, com auxílio de ferramentas
analíticas, a adequação de propostas de
intervenção na realidade.
8. Interpretar informações de natureza
científica e social obtidas da leitura de
gráficos e tabelas, realizando previsão
de tendência, extrapolação,
interpolação e interpretação.
Situações-problema cujo contexto está
em estreita relação com o todo social e
cultural da maioria das pessoas são
usadas para situar a linguagem das
tabelas e gráficos apresentados como
instrumentos de expressão e raciocínio,
favorecendo a verificação do
desenvolvimento das habilidades de
reconhecer e interpretar as informações,
de natureza científica ou social,
expressas em gráficos ou tabelas.
A leitura e interpretação das informações
contidas nas tabelas e gráficos serve como
instrumentos de elaboração e compreensão
de estimativas e de previsão. Isso
possibilita que a habilidade de identificar
ou inferir aspectos relacionados a
fenômenos de natureza científica ou social,
a partir de informações expressas em
gráficos ou tabelas, seja avaliada. Também
permite observar se o aluno sabe retirar
dos gráficos ou tabelas as informações
pertinentes ao problema proposto,
indicando, assim, que sabe selecionar e
interpretar informações expressas em
gráficos ou tabelas para a resolução de
problemas.
A análise de dados de situações reais
apresentados em gráficos e tabelas com
o intuito de interpretar, criticar e prever
resultados, além de ser um modo de
aplicar conhecimentos e métodos
matemáticos em situações reais,
possibilita o desenvolvimento da
habilidade de analisar o comportamento
de variável, expresso em gráficos ou
tabelas, como importante recurso para a
construção de argumentação
consistente. Essa análise crítica e a
capacidade de inferir e prever resultados
também possibilitam ao estudante
avaliar, com auxílio de dados
apresentados em gráficos ou tabelas, a
adequação de propostas de intervenção
na realidade.
9. Compreender o caráter aleatório e não
determinista dos fenômenos naturais e
sociais, e utilizar instrumentos
adequados para medidas e cálculos de
probabilidade, para interpretar
informações de variáveis apresentadas
em uma distribuição estatística.
O cidadão comum se vê hoje imerso em
uma enorme quantidade de informações
de natureza estatística ou probabilística,
difundidas em grande escala pelos meios
de comunicação. Desenvolver habilidades
que permitam ao estudante ler, interpretar
e saber utilizar-se desses recursos torna-se
imprescindível a uma educação que
pretende inseri-lo na sociedade como
membro atuante. Nessa competência, as
situações-problema propostas valorizam
discussões sobre o caráter aleatório dos
fenômenos para possibilitar ao aluno
identificar, interpretar e produzir registros
de informações sobre fatos ou fenômenos
de caráter aleatório. Diferentes fenômenos
devem ser analisados quanto a sua chance
Matem∙tica 39-75.pmd 60 11/7/2003, 09:21
61
III – As áreas do conhecimeno contempladas no ENCCEJA
de ocorrência, nas condições propostas,
de modo que o aluno aplique as idéias de
probabilidade e análise combinatória a
fenômenos naturais e do cotidiano e
possa resolver problemas envolvendo
processos de contagem, medida e cálculo
de probabilidades.
Situações que envolvam grande
quantidade de dados exigem do
estudante inferências e predições. Daí, é
importante avaliar se ele sabe
caracterizar ou fazer inferências sobre
aspectos relacionados a fenômenos de
natureza científica ou social, a partir de
informações expressas por meio de uma
distribuição estatística.
Técnicas e raciocínios estatísticos são
empregados como instrumentos de
análise de distribuição estatística para
realizar inferências e previsões fazendo
uma avaliação crítica dos resultados.
Desse modo, pode-se observar se o
aluno sabe analisar o comportamento de
variável, expresso por meio de uma
distribuição estatística, como
importante recurso para a construção de
argumentação consistente. Por outro
lado, essas técnicas e raciocínios
estatísticos são, sem dúvida,
instrumentos tanto das Ciências da
Natureza quanto das Ciências Humanas
que, cada vez mais, se utilizam, em
questões do mundo real, de dados
apresentados na forma de distribuição
estatística. O domínio desse
conhecimento é fator imprescindível
para que um cidadão possa desenvolver
a habilidade de avaliar, com auxílio de
dados apresentados em distribuições
estatísticas, a adequação de propostas
de intervenção na realidade.
As competências propostas para essa
certificação possibilitam ao jovem ou
adulto atuar na sociedade tendo a
Matemática como instrumento de
mediação.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Leis etc. Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as Diretrizes e
Bases da Educação Nacional. Diário Oficial [da] República Federativa do Brasil,
Poder Executivo, Brasília, DF, v. 134, n. 248, p. 27.833-27.841, 23 dez. 1996. Seção 1.
Lei Darcy Ribeiro.
______. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF, 1999. 4 v.
CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCON, J. Estudar matemáticas E : o elo perdido entre o
ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artes Médicas, 2001. Traduçao de Daisy Vaz
de Moraes.
CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO (Brasil). Câmara de Educação Básica. Parecer nº 15,
de junho de 1998. Diretrizes curriculares manuais para o ensino médio. Documenta,
Brasília, DF, n. 441, p. 3-71, jun. 1998.
______. CBE. Resolução nº1 de 2000.
Matem∙tica 39-75.pmd 61 11/7/2003, 09:21
62
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CUNHA, L. A. Ensino da matemática: na escola pública de 1º e 2º graus: pela
mudança de ponto de vista. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3.,
1993, Natal. Anais… Anais…Natal: Anais… Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993.
FONSECA, M. C. F. R. Por que ensinar Matemática. PRESENÇA PEDAGÓGICA, Belo
Horizonte, v. 11, n. 46-54, 1995.
PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Artes
Médicas, 1999. Tradução de Bruno Charles Magne; consultoria, superv. e rev. técnica
de Maria Carmen Silveira Barbosa.
Matem∙tica 39-75.pmd 62 11/7/2003, 09:21
IV. As matrizes que estruturam as avaliações
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64
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CI – Dominar a norma culta
da Língua Portuguesa e fazer da Língua Portuguesa e fazer
uso das linguagens
matemática, artística e
científica. científica.
CII – Construir e aplicar CII – Construir e aplicar
conceitos das várias áreas do
conhecimento para a
compreensão de fenômenos
naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas. manifestações artísticas.
H1 – Identificar e interpretar, a
partir da leitura de textos
apropriados, diferentes
registros do conhecimento
matemático ao longo do
tempo.
H2 – Reconhecer a contribuição
da Matemática na compreensão
e análise de fenômenos
naturais, e da produção
tecnológica, ao longo da
história.
H6 – Identificar e interpretar
conceitos e procedimentos
matemáticos expressos em
diferentes formas.
H7 – Utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos
para explicar fenômenos ou
fatos do cotidiano.
H11 – Identificar, interpretar e
representar os números
naturais, inteiros e racionais.
H12 – Construir e aplicar
conceitos de números naturais,
inteiros e racionais, para
explicar fenômenos de
qualquer natureza.
M1 – Compreender a
Matemática como construção
humana, relacionando o seu
desenvolvimento com a
transformação da sociedade. transformação da sociedade.
M2 – Ampliar formas de
raciocínio e processos
mentais por meio de
indução, dedução, analogia
e estimativa, utilizando
conceitos e procedimentos
matemáticos. matemáticos.
M3 – Construir significados
e ampliar os já existentes
para os números naturais, para os números naturais,
inteiros e racionais. inteiros e racionais.
Matem∙tica 39-75.pmd 64 11/7/2003, 09:21
65
IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CV – Recorrer aos
conhecimentos desenvolvidos
para elaboração de propostas
de intervenção solidária na
realidade, respeitando os
valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural. sociocultural.
CIII – Selecionar, organizar, CIII – Selecionar, organizar,
relacionar, interpretar dados e
informações representados de
diferentes formas, para tomar diferentes formas, para tomar
decisões e enfrentar decisões e enfrentar
situações-problema. situações-problema.
CIV – Relacionar informações, CIV – Relacionar informações,
representadas em diferentes
formas, e conhecimentos
disponíveis em situações
concretas, para construir concretas, para construir
argumentação consistente. argumentação consistente.
H3 – Identificar o recurso
matemático utilizado pelo
homem, ao longo da história,
para enfrentar e resolver
problemas.
H4 – Identificar a Matemática
como importante recurso para
a construção de argumentação.
H5 – Reconhecer, pela leitura
de textos apropriados, a
importância da Matemática na
elaboração de proposta de
intervenção solidária na
realidade.
H8 – Utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos
para construir formas de
raciocínio que permitam
aplicar estratégias para a
resolução de problemas.
H9 – Identificar e utilizar
conceitos e procedimentos
matemáticos na construção de
argumentação consistente.
H10 – Reconhecer a adequação
da proposta de ação solidária,
utilizando conceitos e
procedimentos matemáticos.
H13 – Interpretar informações e
operar com números naturais,
inteiros e racionais, para tomar
decisões e enfrentar situaçõesproblema.
H14 – Utilizar os números
naturais, inteiros e racionais,
na construção de argumentos
sobre afirmações quantitativas
de qualquer natureza.
H15 – Recorrer à compreensão
numérica para avaliar
propostas de intervenção frente
a problemas da realidade.
Matem∙tica 39-75.pmd 65 11/7/2003, 09:21
66
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CI – Dominar a norma culta
da Língua Portuguesa e fazer da Língua Portuguesa e fazer
uso das linguagens
matemática, artística e
científica. científica.
CII – Construir e aplicar CII – Construir e aplicar
conceitos das várias áreas do
conhecimento para a
compreensão de fenômenos
naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas. manifestações artísticas.
H16 – Identificar e interpretar
fenômenos de qualquer
natureza expressos em
linguagem geométrica.
H17 – Construir e identificar
conceitos geométricos no
contexto da atividade
cotidiana.
H21 – Identificar e interpretar
registros, utilizando a notação
convencional de medidas.
H22 – Estabelecer relações
adequadas entre os diversos
sistemas de medida e a
representação de fenômenos
naturais e do cotidiano.
H26 – Identificar grandezas
direta e inversamente
proporcionais, e interpretar a
notação usual de porcentagem.
H27 – Identificar e avaliar a
variação de grandezas para
explicar fenômenos naturais,
processos socioeconômicos e
da produção tecnológica.
M4 – Utilizar o
conhecimento geométrico
para realizar a leitura e a
representação da
realidade, e agir sobre ela. realidade, e agir sobre ela.
M5 – Construir e ampliar M5 – Construir e ampliar
noções de grandezas e
medidas para a
compreensão da realidade
e a solução de problemas
do cotidiano. do cotidiano.
M6 – Construir e ampliar M6 – Construir e ampliar
noções de variação de
grandeza para a compreensão
da realidade e a solução de
problemas do cotidiano. problemas do cotidiano.
Matem∙tica 39-75.pmd 66 11/7/2003, 09:21
67
IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CV – Recorrer aos
conhecimentos desenvolvidos
para elaboração de propostas
de intervenção solidária na
realidade, respeitando os
valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural. sociocultural.
CIII – Selecionar, organizar, CIII – Selecionar, organizar,
relacionar, interpretar dados e
informações representados de
diferentes formas, para tomar diferentes formas, para tomar
decisões e enfrentar decisões e enfrentar
situações-problema. situações-problema.
CIV – Relacionar informações, CIV – Relacionar informações,
representadas em diferentes
formas, e conhecimentos
disponíveis em situações
concretas, para construir concretas, para construir
argumentação consistente. argumentação consistente.
H18 – Interpretar informações e
aplicar estratégias geométricas
na solução de problemas do
cotidiano.
H19 – Utilizar conceitos
geométricos na seleção de
argumentos propostos como
solução de problemas do
cotidiano.
H20 – Recorrer a conceitos
geométricos para avaliar
propostas de intervenção sobre
problemas do cotidiano.
H23 – Selecionar,
compatibilizar e operar
informações métricas de
diferentes sistemas ou unidades
de medida na resolução de
problemas do cotidiano.
H24 – Selecionar e relacionar
informações referentes a
estimativas ou outras formas
de mensuração de fenômenos
de natureza qualquer, com a
construção de argumentação
que possibilitem sua
compreensão.
H25 – Reconhecer propostas
adequadas de ação sobre a
realidade, utilizando medidas e
estimativas.
H28 – Resolver problemas
envolvendo grandezas direta e
inversamente proporcionais e
porcentagem.
H29 – Identificar e interpretar
variações percentuais de
variável socioeconômica ou
técnico-científica como
importante recurso para a
construção de argumentação
consistente.
H30 – Recorrer a cálculos com
porcentagem e relações entre
grandezas proporcionais para
avaliar a adequação de
propostas de intervenção na
realidade.
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68
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CI – Dominar a norma culta
da Língua Portuguesa e fazer da Língua Portuguesa e fazer
uso das linguagens
matemática, artística e
científica. científica.
CII – Construir e aplicar CII – Construir e aplicar
conceitos das várias áreas do
conhecimento para a
compreensão de fenômenos
naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas. manifestações artísticas.
H31 – Identificar, interpretar e
utilizar a linguagem algébrica
como uma generalização de
conceitos aritméticos.
H32 – Caracterizar fenômenos
naturais e processos da
produção tecnológica,
utilizando expressões
algébricas e equações de 1° e
2° graus.
H36 – Reconhecer e interpretar
as informações de natureza
científica ou social expressas
em gráficos ou tabelas.
H37 – Identificar ou inferir
aspectos relacionados a
fenômenos de natureza
científica ou social, a partir de
informações expressas em
gráficos ou tabelas.
H41 – Identificar e interpretar
estratégias e situações
matemáticas numéricas
aplicadas em contextos
diversos da ciência e da
tecnologia.
H42 – Construir e identificar
conceitos matemáticos
numéricos na interpretação de
fenômenos em contextos
diversos da ciência e da
tecnologia.
M7 – Construir e utilizar M7 – Construir e utilizar
conceitos algébricos para
modelar e resolver modelar e resolver
problemas. problemas.
M8 – Interpretar informações
de natureza científica e social de natureza científica e social
obtidas da leitura de gráficos
e tabelas, realizando previsão
de tendência, extrapolação, de tendência, extrapolação,
interpolação e interpretação. interpolação e interpretação.
M9 – Compreender conceitos, M9 – Compreender conceitos,
estratégias e situações
matemáticas numéricas para
aplicá-los a situações diversas
no contexto das ciências, da
tecnologia e da atividade
cotidiana. cotidiana.
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69
IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CV – Recorrer aos
conhecimentos desenvolvidos
para elaboração de propostas
de intervenção solidária na
realidade, respeitando os
valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural. sociocultural.
CIII – Selecionar, organizar, CIII – Selecionar, organizar,
relacionar, interpretar dados e
informações representados de
diferentes formas, para tomar diferentes formas, para tomar
decisões e enfrentar decisões e enfrentar
situações-problema. situações-problema.
CIV – Relacionar informações, CIV – Relacionar informações,
representadas em diferentes
formas, e conhecimentos
disponíveis em situações
concretas, para construir concretas, para construir
argumentação consistente. argumentação consistente.
H33 – Utilizar expressões
algébricas e equações de 1° e 2°
graus para modelar e resolver
problemas.
H34 – Analisar o
comportamento de variável,
utilizando ferramentas
algébricas como importante
recurso para a construção de
argumentação consistente.
H35 – Avaliar, com auxílio de
ferramentas algébricas, a
adequação de propostas de
intervenção na realidade.
H38 – Selecionar e interpretar
informações expressas em
gráficos ou tabelas para a
resolução de problemas.
H39 – Analisar o
comportamento de variável
expresso em gráficos ou
tabelas, como importante
recurso para a construção de
argumentação consistente.
H40 – Avaliar, com auxílio de
dados apresentados em gráficos
ou tabelas, a adequação de
propostas de intervenção na
realidade.
H43 – Interpretar informações
e aplicar estratégias
matemáticas numéricas na
solução de problemas em
contextos diversos da ciência e
da tecnologia.
H44 – Utilizar conceitos e
estratégias matemáticas
numéricas na seleção de
argumentos propostos como
solução de problemas, em
contextos diversos da ciência e
da tecnologia.
H45 – Recorrer a conceitos
matemáticos numéricos para
avaliar propostas de
intervenção sobre problemas de
natureza científica e
tecnológica.
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70
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CI – Dominar a norma culta
da Língua Portuguesa e fazer da Língua Portuguesa e fazer
uso das linguagens
matemática, artística e
científica. científica.
CII – Construir e aplicar CII – Construir e aplicar
conceitos das várias áreas do
conhecimento para a
compreensão de fenômenos
naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas. manifestações artísticas.
H1 – Identificar e interpretar, a
partir da leitura de textos
apropriados, diferentes
registros do conhecimento
matemático ao longo do
tempo.
H2 – Reconhecer a contribuição
da Matemática na compreensão
e análise de fenômenos
naturais e da produção
tecnológica, ao longo da
história.
H6 – Identificar e interpretar
conceitos e procedimentos
matemáticos expressos em
diferentes formas.
H7 – Utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos
para explicar fenômenos ou
fatos do cotidiano.
H11 – Identificar, interpretar e
representar os números
naturais, inteiros, racionais e
reais.
H12 – Construir e aplicar
conceitos de números naturais,
inteiros, racionais e reais, para
explicar fenômenos de
qualquer natureza.
M1 – Compreender a
Matemática como
construção humana, construção humana,
relacionando o seu
desenvolvimento com a
transformação da sociedade. transformação da sociedade.
M2 – Ampliar formas de
raciocínio e processos
mentais por meio de
indução, dedução, analogia
e estimativa, utilizando
conceitos e procedimentos
matemáticos. matemáticos.
M3 – Construir M3 – Construir
significados e ampliar os
já existentes para os
números naturais, inteiros, números naturais, inteiros,
racionais e reais. racionais e reais.
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71
IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CV – Recorrer aos
conhecimentos desenvolvidos
para elaboração de propostas
de intervenção solidária na
realidade, respeitando os
valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural. sociocultural.
CIII – Selecionar, organizar, CIII – Selecionar, organizar,
relacionar, interpretar dados e
informações representados de
diferentes formas, para tomar diferentes formas, para tomar
decisões e enfrentar decisões e enfrentar
situações-problema. situações-problema.
CIV – Relacionar informações, CIV – Relacionar informações,
representadas em diferentes
formas, e conhecimentos
disponíveis em situações
concretas, para construir concretas, para construir
argumentação consistente. argumentação consistente.
H3 – Identificar o recurso
matemático utilizado pelo
homem, ao longo da história,
para enfrentar e resolver
problemas.
H4 – Identificar a Matemática
como importante recurso para
a construção de argumentação.
H5 – Reconhecer, pela leitura
de textos apropriados, a
importância da Matemática na
elaboração de proposta de
intervenção solidária na
realidade.
H8 – Utilizar conceitos e
procedimentos matemáticos
para construir formas de
raciocínio que permitam
aplicar estratégias para a
resolução de problemas.
H9 – Identificar e utilizar
conceitos e procedimentos
matemáticos na construção de
argumentação consistente.
H10 – Reconhecer a adequação
da proposta de ação solidária,
utilizando conceitos e
procedimentos matemáticos.
H13 – Interpretar informações
e operar com números
naturais, inteiros, racionais e
reais, para tomar decisões e
enfrentar situações-problema.
H14 – Utilizar os números
naturais, inteiros, racionais e
reais, na construção de
argumentos sobre afirmações
quantitativas de qualquer
natureza.
H15 – Recorrer à compreensão
numérica para avaliar
propostas de intervenção frente
a problemas da realidade.
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Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CI – Dominar a norma culta
da Língua Portuguesa e fazer da Língua Portuguesa e fazer
uso das linguagens
matemática, artística e
científica. científica.
CII – Construir e aplicar CII – Construir e aplicar
conceitos das várias áreas do
conhecimento para a
compreensão de fenômenos
naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas. manifestações artísticas.
H16 – Identificar e interpretar
fenômenos de qualquer
natureza expressos em
linguagem geométrica.
H17 – Construir e identificar
conceitos geométricos no
contexto da atividade
cotidiana.
H21 – Identificar e interpretar
registros, utilizando a notação
convencional de medidas.
H22 – Estabelecer relações
adequadas entre os diversos
sistemas de medida e a
representação de fenômenos
naturais e do cotidiano.
H26 – Identificar grandezas
direta e inversamente
proporcionais, e interpretar a
notação usual de porcentagem.
H27 – Identificar e avaliar a
variação de grandezas para
explicar fenômenos naturais,
processos socioeconômicos e
da produção tecnológica.

CIII – Selecionar, organizar, CIII – Selecionar, organizar,
relacionar, interpretar dados e
informações representados de
diferentes formas, para tomar diferentes formas, para tomar
decisões e enfrentar decisões e enfrentar
situações-problema. situações-problema.
CIV – Relacionar CIV – Relacionar
informações representadas
em diferentes formas e
conhecimentos disponíveis
em situações concretas, em situações concretas,
para construir para construir
argumentação consistente. argumentação consistente.
H18 – Interpretar informações
e aplicar estratégias
geométricas na solução de
problemas do cotidiano.
H19 – Utilizar conceitos
geométricos na seleção de
argumentos propostos como
solução de problemas do
cotidiano.
H20 – Recorrer a conceitos
geométricos para avaliar
propostas de intervenção sobre
problemas do cotidiano.
H23 – Selecionar,
compatibilizar e operar
informações métricas de
diferentes sistemas ou unidades
de medida na resolução de
problemas do cotidiano.
H24 – Selecionar e relacionar
informações referentes a
estimativas ou outras formas
de mensuração de fenômenos
de natureza quaisquer com a
construção de argumentação
que possibilitem sua
compreensão.
H25 – Reconhecer propostas
adequadas de ação sobre a
realidade, utilizando medidas e
estimativas.
H28 – Resolver problemas
envolvendo grandezas direta e
inversamente proporcionais e
porcentagem.
H29 – Identificar e interpretar
variações percentuais de variável
socioeconômica ou técnicocientífica como importante
recurso para a construção de
argumentação consistente.
H30 – Recorrer a cálculos com
porcentagem e relações entre
grandezas proporcionais para
avaliar a adequação de
propostas de intervenção na
realidade.
Matem∙tica 39-75.pmd 73 11/7/2003, 09:21
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Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
CI – Dominar a norma culta
da Língua Portuguesa e fazer da Língua Portuguesa e fazer
uso das linguagens
matemática, artística e
científica. científica.
CII – Construir e aplicar CII – Construir e aplicar
conceitos das várias áreas do
conhecimento para a
compreensão de fenômenos
naturais, de processos
histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das
manifestações artísticas. manifestações artísticas.
H31 – Identificar e interpretar
representações analíticas de
processos naturais ou da
produção tecnológica e de
figuras geométricas como
pontos, retas e circunferências.
H32 – Interpretar ou aplicar
modelos analíticos,
envolvendo equações
algébricas, inequações ou
sistemas lineares, objetivando
a compreensão de fenômenos
naturais ou processos de
produção tecnológica.
H36 – Reconhecer e interpretar
as informações de natureza
científica ou social expressas
em gráficos ou tabelas.
H37 – Identificar ou inferir
aspectos relacionados a
fenômenos de natureza
científica ou social, a partir de
informações expressas em
gráficos ou tabelas.
H41 – Identificar, interpretar e
produzir registros de
informações sobre fatos ou
fenômenos de caráter aleatório.
H42 – Caracterizar ou inferir
aspectos relacionados a
fenômenos de natureza
científica ou social, a partir de
informações expressas por
meio de uma distribuição
estatística.
M7 – Aplicar expressões
analíticas para modelar e
resolver problemas, resolver problemas,
envolvendo variáveis
socioeconômicas ou
técnico-científicas. técnico-científicas.
M8 – Interpretar informações
de natureza científica e social de natureza científica e social
obtidas da leitura de gráficos
e tabelas, realizando previsão
de tendência, extrapolação, de tendência, extrapolação,
interpolação e interpretação. interpolação e interpretação.
M9 – Compreender o caráter M9 – Compreender o caráter
aleatório e não
determinístico dos
fenômenos naturais e sociais, fenômenos naturais e sociais,
e utilizar instrumentos
adequados para medidas e
cálculos de probabilidade, cálculos de probabilidade,
para interpretar informações
de variáveis apresentadas em
uma distribuição estatística. uma distribuição estatística.
Matem∙tica 39-75.pmd 74 11/7/2003, 09:21
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IV. As matrizes que estruturam as avaliações
CV – Recorrer aos
conhecimentos desenvolvidos
para elaboração de propostas
de intervenção solidária na
realidade, respeitando os
valores humanos e
considerando a diversidade
sociocultural. sociocultural.
CIII – Selecionar, organizar, CIII – Selecionar, organizar,
relacionar, interpretar dados e
informações representados de
diferentes formas, para tomar diferentes formas, para tomar
decisões e enfrentar decisões e enfrentar
situações-problema. situações-problema.
CIV – Relacionar CIV – Relacionar
informações representadas
em diferentes formas e
conhecimentos disponíveis
em situações concretas, em situações concretas,
para construir para construir
argumentação consistente. argumentação consistente.
H33 – Modelar e resolver
problemas utilizando equações
e inequações com uma ou mais
variáveis.
H34 – Utilizar modelagem
analítica como recurso
importante na elaboração de
argumentação consistente.
H35 – Avaliar, com auxílio de
ferramentas analíticas, a
adequação de propostas de
intervenção na realidade.
H38 – Selecionar e interpretar
informações expressas em
gráficos ou tabelas para a
resolução de problemas.
H39 – Analisar o
comportamento de variável
expresso em gráficos ou
tabelas como importante
recurso para a construção de
argumentação consistente.
H40 – Avaliar, com auxílio de
dados apresentados em
gráficos ou tabelas, a
adequação de propostas de
intervenção na realidade.
H43 – Resolver problemas
envolvendo processos de
contagem, medida e cálculo de
probabilidades.
H44 – Analisar o
comportamento de variável
expresso por meio de uma
distribuição estatística como
importante recurso para a
construção de argumentação
consistente.
H45 – Avaliar, com auxílio de
dados apresentados em
distribuições estatísticas, a
adequação de propostas de
intervenção na realidade.
Matem∙tica 39-75.pmd 75 11/7/2003, 09:21
76
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Matem∙tica 76-150.pmd 76 11/7/2003, 09:21
77
Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalho
para que o professor possa orientar-se no sentido
de favorecer aos seus alunos o desenvolvimento
das competências e habilidades que estruturam
a avaliação do ENCCEJA –
Matemática – Ensino Fundamental Matemática – Ensino Fundamental. Matemática – Ensino Fundamental
Estes textos complementam o material de orientação
de estudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu
real significado se incorporados à experiência do
professor e à bibliografia didática já consagrada
nesta área.
Matemática
Ensino Fundamental
Capítulos I ao IX
V. Orientação para o trabalho do professor
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79
Matemática: uma
construção humana
Vinício de Macedo Santos
Partimos da suposição de que qualquer
pessoa tem interesse e curiosidade
relativamente à Matemática, não só
porque faz parte da natureza humana
observar, fazer perguntas, resolver
problemas que conduzam ao
conhecimento matemático, como
também porque é necessário
desenvolvermos certas competências
para enfrentarmos situações-problema
que envolvam tal conhecimento nas
nossas atividades cotidianas.
Apesar disso, percebe-se um
distanciamento e resistência de grande
parte das pessoas em relação às
situações de aprendizagem dessa área
do conhecimento. Esse fato revela-se
contraditório com a importância que a
Matemática passou a ter na vida das
pessoas. Soma-se a isso a compreensão,
hoje alcançada, de que estudar e
aprender fazem parte dos direitos de
qualquer cidadão.
No que se refere a ensinar e aprender
Matemática, tem ganhado força, entre
educadores, a idéia de que aprender
Matemática, além de incluir o domínio
de certas noções e processos, para se
saber utilizá-los em diferentes
contextos, inclui também conhecer
sobre a Matemática. Isto porque, entre
as perguntas que qualquer estudante faz
sobre os conhecimentos que podem
auxiliá-lo na resolução de problemas
matemáticos ou não-matemáticos, há
indagações
que dizem respeito à origem e
desenvolvimento das nossas idéias e
conhecimentos em Matemática, ao
tipo de raciocínio e às motivações que
levaram o homem a inventar
a Matemática.
Assim, é necessário proporcionar ao
estudante a oportunidade de travar
contato e interagir com situações em que
perceba que o conhecimento
matemático, do mesmo modo que todo
conhecimento, decorre da atividade do
homem empenhado em observar,
compreender e transformar a natureza e
a realidade.
COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA,
RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM A
TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo I
Matem∙tica 76-150.pmd 79 11/7/2003, 09:21
Livro do Professor – Matemática
80
Ensino Fundamental
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
No texto “A Matemática: uma
construção humana”, procura-se fazer ,
uma aproximação do estudante com
algumas dessas questões, informando-o
sobre diferentes aspectos da
Matemática que utilizamos hoje, no
nosso dia-a-dia, e que, muitas vezes,
nem percebemos. Procura-se também
informá-lo sobre situações e problemas
cujas soluções no passado permitiram
ao homem adquirir novos
conhecimentos e chegar ao
desenvolvimento científico e
tecnológico atual.
Discutir com o estudante essa dimensão
da Matemática, mais especificamente,
significa:
• Caracterizar esse conhecimento como
uma construção humana decorrente
da interação do homem com a
natureza, da observação de
regularidades oferecidas por vários
fenômenos naturais (o movimento dos
astros, da terra, as fases da lua) e de
padrões
(o fato de termos dez dedos das mãos,
a presença de duas asas nos pássaros
etc.).
• Recuperar alguns registros
matemáticos históricos (números,
diferentes desenhos, figuras e motivos
geométricos etc.), procurando traduzir
o seu significado.
• Apresentar alguns dos problemas
enfrentados pelo homem e cujo
processo de resolução levou-o a
construir conhecimento matemático
(noções como número, medida etc.).
• Apresentar diferentes contextos em
que a Matemática está presente (na
escola, nos jornais, nas profissões etc.)
• Caracterizar, de modo rápido e
compreensível, que a Matemática é
constituída de diferentes campos
(Aritmética, Geometria, Estatística,
Probabilidades etc.)
• Traduzir e apresentar essas idéias em
situações-problema e contextos cuja
análise e esforço de resolução
possibilitem o desenvolvimento das
seguintes habilidades:
. identificar e interpretar diferentes .
registros matemáticos utilizados
pelo homem ao longo do tempo;
. reconhecer a contribuição da .
Matemática na compreensão e
análise de fenômenos naturais e da
produção tecnológica no decorrer da
história;
. identificar a Matemática como .
recurso utilizado pelo homem para
enfrentar problemas;
. identificar a Matemática como meio .
para a construção de argumentos;
. reconhecer a importância da .
Matemática na elaboração de
propostas para a intervenção
solidária na realidade.
O texto constitui-se como uma
orientação de estudos e, como tal,
contém informações e problematizações
que evidenciam a presença da
Matemática em fenômenos e situações
interpretados pelos estudantes. Tal
orientação tem o propósito de auxiliar o
Matem∙tica 76-150.pmd 80 11/7/2003, 09:21
81
estudante a recuperar, organizar e
aplicar noções matemáticas já
adquiridas. A abordagem dos conceitos
matemáticos e a aplicação dos mesmos
pelo estudante são guiadas pelo
conjunto das habilidades pretendidas,
definidas no âmbito global do projeto,
que prevê a abordagem das dimensões
histórica, social e cultural da
Matemática e sua relação com o
conhecimento científico e tecnológico.
Pretende-se que as situações-problema
e as atividades apresentadas cativem o
interesse do aluno para estudar e
aprender mais Matemática, para se
sentir sujeito do seu próprio
conhecimento ao realizar pesquisas e
relacionar idéias que lhe permitam
compreender certos fenômenos,
resolver problemas e tirar conclusões.
A abordagem das noções matemáticas
no texto leva em conta, portanto, que a
eficiência dessa orientação depende de
quanto o estudante for motivado para
seguir a leitura e se envolver nas
atividades propostas, já que ele mesmo
conduzirá grande parte desse processo.
Neste caso, o professor tem o
inestimável papel de somar esforços ao
trabalho pretendido com o texto,
criando, potencializando e
desencadeando o interesse e a
capacidade desse estudante para o
estudo da Matemática.
Como se pretende que o estudante
desenvolva competências matemáticas
e se qualifique como estudante do
Ensino Fundamental, participando de
avaliações com bom aproveitamento em
Matemática, as atividades são de dois
tipos. Há aquelas que promovem a
busca e aproximação de conhecimentos
matemáticos, mediante a realização de
pesquisas, a observação e interpretação
de situações e fenômenos. Há também
questões objetivas, algumas em forma
de testes de múltipla escolha, que
requerem do aluno certa agilidade e o
manejo de conhecimentos matemáticos
em contextos bem particulares.
O estudante será solicitado, em cada
situação-problema, a ler um texto e
interpretá-lo, a observar e analisar uma
figura, colher informações e registrar
suas idéias e soluções.
Devido à natureza deste trabalho,
grande parte das atividades e exercícios
do texto são, posteriormente,
comentados, indicando-se informações
adicionais e elementos que sirvam de
referência para o estudante validar suas
conclusões e respostas. Aqueles itens
que demandam uma resposta objetiva
são contemplados com os resultados ao
final do texto.
É necessário que o estudante, a partir do
estudo do texto e do incentivo do
professor, compreenda a relação direta
que existe entre sua participação e
envolvimento nas atividades e o seu
aproveitamento.
O texto contém, ainda, uma bibliografia
que serviu de apoio à sua elaboração e
cujos textos principais estão aqui
relacionados por se constituírem de
material de suporte ao trabalho do
professor. Alguns dos títulos, a critério
do professor, poderão ser utilizados nos
estudos que o estudante fará a partir do
texto. Porém, as fontes para pesquisas
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 81 11/7/2003, 09:21
Livro do Professor – Matemática
82
Ensino Fundamental
dos estudantes dependem daquilo a que
cada um tem acesso. Nesse sentido,
dada a proximidade com o estudante, o
BIBLIOGRAFIA
ALSINA, C. et al. Invitación a la didactica de la geometria. Madrid: Sintesis, 1995.
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1998. Tradução de
Elza F. Gomide.
CERQUETTI; ABERKANE, F.; BERDONNEAU, C. O ensino de matemática na educação
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DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: F. Alves,
1985.Tradução de João Bosco Pitombeira.
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IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção. 2. ed. Rio de Janeiro: Globo,
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Tradução de Alberto Denis. São Paulo: IBRASA, 1961. (Biblioteca História; v.7).
LOPES, A. J. Matemática hoje é feita assim: 6a
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Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência Atual e Mestres da Ciência). Tradução de Alexandre Torres.
SOLOMON, C. Matemática. 2. ed. São Paulo: Melhoramentos, 1977. (Prisma, v. 22).
Tradução de Maria Pia Brito de Macedo Charlier e Rene François Joseph Charlier.
TOLEDO, M. Didática de matemática: como dois e dois: a construção da matemática.
São Paulo: FTD, 1997. (Conteúdo e metodologia).
professor pode contribuir apresentando
sugestões de livros, materiais e fontes
acessíveis a ele.
Matem∙tica 76-150.pmd 82 11/7/2003, 09:21
83
A arte de
raciocinar
Célia Maria Carolino Pires
Na Educação de Jovens e Adultos, como
nas demais modalidades de ensino, a
atividade matemática deve estar
orientada para integrar, de forma
equilibrada, seu papel formativo de
desenvolvimento de capacidades
intelectuais para a estruturação do
pensamento e seu papel funcional de
aplicação na vida prática e de resolução
de problemas nas diferentes áreas de
conhecimento.
Neste texto, além da aplicabilidade dos
conhecimentos matemáticos, o papel
formativo merece destaque, na medida
em que se pretende que o aluno perceba
que pode usar diferentes procedimentos
de raciocínio, na solução de um
problema matemático. A intenção é a de
estimular o aluno a observar
regularidades, a elaborar conjecturas e
validá-las e a formular argumentos para
defender seus pontos de vista.
Pretende-se que ele observe que o
exercício da indução e da dedução são
importantes no desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas, de
formular e testar hipóteses, de
generalizar e de inferir dentro de
determinada lógica.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
Assim sendo, podemos sintetizar a
finalidade deste texto como sendo a de
estimular o aluno a ampliar formas de
raciocínio e processos mentais por meio
de intuição, dedução, analogia e
estimativa, utilizando conceitos e
procedimentos matemáticos. Essa
competência materializa-se em diferentes
habilidades:
• Identificar e interpretar conceitos e
procedimentos matemáticos expressos
em diferentes formas.
• Utilizar conceitos e procedimentos
matemáticos para explicar fenômenos
ou fatos do cotidiano.
• Utilizar conceitos e procedimentos
matemáticos para construir formas de
raciocínio que permitam aplicar
estratégias para a resolução de
problemas.
AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR
MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,
UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo II
Matem∙tica 76-150.pmd 83 11/7/2003, 09:21
84
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Utilizar conceitos e procedimentos
matemáticos para identificar a
consistência de uma argumentação.
• Reconhecer a adequação da proposta
de ação solidária, utilizando conceitos
e procedimentos matemáticos.
No capítulo, os conteúdos conceituais e
procedimentais têm papel ilustrativo de
conteúdos de natureza atitudinal. O que
se pretende é mostrar situações em que
o que está em jogo é a capacidade de
investigar, de perseverar na busca de
soluções e, principalmente, de valorizar
o uso de estratégias de verificação e
controle de resultados.
Analisando diferentes estratégias para
resolver uma situação-problema e
reconhecendo que existem diversas
formas de resolução que podem ser
empregadas, o aluno poderá ir
modificando suas representações sobre
a atividade matemática e sobre o papel
dos conteúdos. À medida que o aluno é
capaz de dizer se uma regra matemática
se aplica em diversos exemplos e
contra-exemplos, ele se mostra capaz
de utilizar conceitos como instrumentos
de ação, mesmo que ainda não possa
formulá-los.
A resolução de problemas é a estratégia
metodológica privilegiada; desse modo, as
soluções das situações apresentadas não
estão disponíveis de início, mas podem ser
construídas pelo aluno, ao colocar em ação
habilidades de análise e interpretação das
situações e ao buscar estratégias de
solução, usando diferentes formas de
raciocínio.
As situações de aprendizagem estão
centradas na construção de significados, na
elaboração de estratégias e na resolução de
problemas, em que o aluno possa
desenvolver processos importantes como
intuição, analogia, indução e dedução, e
não atividades voltadas para a
memorização, desprovidas de
compreensão ou de um trabalho que
privilegie a formalização de conceitos, sem
significados.
As atividades propostas caracterizam-se
pela problematização de situações em
que o aluno precisa identificar e
interpretar alguns conceitos e
procedimentos matemáticos,
relacionados a fatos do cotidiano e
também a fenômenos da natureza, das
ciências humanas e das ciências sociais.
Elas fazem referência a alguns aspectos
históricos do conhecimento
matemático, buscando elucidar
estratégias usadas para a resolução de
problemas. Destacam ainda alguns
aspectos da lógica matemática, como as
falácias, as implicações que podem ser
utilizadas pelos alunos para identificar a
consistência de uma argumentação e a
adequação de propostas de ação
solidária, usando ferramentas
matemáticas.
Partimos do princípio de que o
pensamento matemático de um aluno
avança quando ele é estimulado a utilizar
seus conhecimentos prévios para
resolver outros problemas, o que exige
transferências, retificações, rupturas,
novas informações que possibilitam a
constituição de “novos” conhecimentos.
Para tanto, é fundamental que o aluno
seja estimulado a ler textos, a
interpretar significados, a pensar de
forma criativa.
Matem∙tica 76-150.pmd 84 11/7/2003, 09:21
85
Assim sendo, ao utilizar este texto, esse
processo de lançar mão de
conhecimentos prévios e ampliá-los
deve nortear os estudos tanto em
situações de trabalho individual, como
em grupo, de modo que o aluno possa
desenvolver o raciocínio, perceber
formas indutivas ou dedutivas de
organização do pensamento, estabelecer
analogias, argumentar, ampliando,
assim, significativamente, sua
capacidade para abstrair elementos
comuns a várias situações, fazer
conjecturas, generalizações e deduções
simples.
É fundamental ainda que o trabalho não
se limite aos textos e às propostas de
atividades apresentadas, mas que este
texto seja um roteiro de estudo, a ser
ampliado pela consulta de outras fontes
bibliográficas.
É interessante que o aluno vá registrando
possíveis dúvidas em relação às
atividades comentadas e também aos
exercícios propostos em que são
fornecidas as respostas. O processo de
auto-avaliação deve ser orientador de
quais conceitos ou procedimentos
precisam ser melhor trabalhados com
ajuda do professor.
BIBLIOGRAFIA
D’AMBROSIO, U. Globalização, educação multicultural e etnomatematica. 1997.
Brasília, DF: MEC: SEF. Texto apresentado na: JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO
SOBRE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS, 1997.
______. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. Campinas,
Unicamp, 1986.
DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: F. Alves,
1986. Tradução de João B. Pitombeira.
DUVAL, R. Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive.
Strasbourg: IREM, n. 31, 1993.
FREUDENTHAL, H. Problemas mayores de la educación matematica. Dordrecht: D.
Reidel, 1981. Versão ao espanhol: Alejandro López Yánez.
GARDNER, H. Estruturas da mente: a teoria das inteligências múltiplas. Tradução de
Sandra Costa. Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.
JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976.
(Logoteca).
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da
informática. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1993. (Trans). Tradução de Carlos Irineu da Costa.
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 85 11/7/2003, 09:21
86
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: a alegoria como norma e o conhecimento
como rede. São Paulo, 1994. Tese (Livre Docência)- Faculdade de Educação,
Universidade de São Paulo.
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: FTD, 2000.
PIRES, C. M. C. et al. Educação matemática. São Paulo: Atual, 2002.
SCHOENFELD, A. H. Mathematical problem solving. New a York: Academic Press,
1985.
Matem∙tica 76-150.pmd 86 11/7/2003, 09:21
87
Os números: seus usos e
seus significados
Wanda Silva Rodrigues
Construir significados e ampliar os já
existentes para os números naturais,
inteiros e racionais, a partir de seus usos
e significados e também relacionandoos ao seu desenvolvimento histórico, é
uma das competências mais importante
a ser desenvolvida no Ensino
Fundamental.
A importância desse tema é bastante
reconhecida por professores e alunos,
pelo seu uso no cotidiano das pessoas.
Os números estão presentes nas notícias
veiculadas em jornais e revistas, em
textos científicos, históricos,
geográficos, nas compras e vendas, nas
expressões de medidas, nas estatísticas.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O propósito deste texto é, portanto,
possibilitar ao leitor construir, ampliar
e/ou reconstruir significados para os
números naturais, inteiros e racionais,
por meio de sua inserção em contextos
significativos de modo a desenvolver as
seguintes habilidades:
• Identificar, interpretar e representar os
números naturais, inteiros e racionais.
• Construir e aplicar conceitos de
números naturais, inteiros e racionais,
para explicar fenômenos de qualquer
natureza.
• Interpretar informações e operar com
números naturais, inteiros e racionais,
para tomar decisões e enfrentar
situações-problema.
• Utilizar os números naturais, inteiros e
racionais, na construção de
argumentos sobre afirmações
quantitativas de qualquer natureza.
• Recorrer à compreensão numérica
para avaliar propostas de intervenção
frente a problemas da realidade.
Os números naturais são explorados nas
diferentes situações em que aparecem
com a finalidade de representar os
resultados de contagens ou de
ordenações, e também para codificar. É
importante que o aluno tenha
oportunidade de realizar a leitura e
escrita de números “grandes” e
CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA
OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAIS.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo III
Matem∙tica 76-150.pmd 87 11/7/2003, 09:21
88
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
desenvolver uma compreensão mais
consistente das regras que caracterizam
o sistema de numeração que utiliza.
Já os números inteiros negativos são
explorados pela análise de situações em
que representam diferença, “falta”,
apoiando-se em idéias intuitivas que os
alunos já têm sobre esses números por
vivenciarem situações de perdas e
ganhos num jogo, débitos e créditos
bancários ou outras situações. O estudo
dos números racionais, nas suas
representações fracionária e decimal,
partem da exploração de alguns de seus
significados, tais como: a relação
parte/todo, quociente, razão.
Ao longo do texto, a resolução de
situações – problema com números
naturais, racionais e inteiros permite a
ampliação do sentido operacional, que se
desenvolve simultaneamente à
compreensão dos significados dos
números.
Em algumas atividades explora-se a
compreensão de regras do cálculo com
naturais, inteiros e racionais pela
observação de regularidades.
A resolução de problemas é a estratégia
metodológica privilegiada. Essa opção
traz implícita a convicção de que o
conhecimento matemático ganha
significado quando, diante de situações
desafiadoras, são desenvolvidas
estratégias de resolução possibilitando a
mobilização de conhecimentos e o
desenvolvimento da capacidade para
generalizar informações e argumentar
sobre elas.
É na argumentação dos problemas do
dia-a-dia que as idéias e os pontos de
vista expressos, cada vez com mais
clareza, permitem ao leitor fazer
interpretações de significados,
conjecturas, generalizações e deduções
simples. Com isso, desenvolvem-se o
pensamento indutivo e o dedutivo. Essa
conexão com a realidade torna possível
a leitura e a interpretação dos números
em textos jornalísticos, científicos,
histórico-geográficos, e em gráficos e
tabelas, possibilitando tomadas de
decisão e uma intervenção frente a
problemas da realidade.
Parte significativa das atividades
propostas envolve a leitura e
interpretação de textos adaptados de
jornais e revistas em que os dados
numéricos desempenham importante
papel.
Os textos foram selecionados de modo a
explicitar a relação dos conhecimentos
matemáticos com temas de interesse
social, ligados às questões ambientais, ao
trabalho e ao consumo, ao
desenvolvimento tecnológico, entre
outros.
Outras atividades têm como finalidade
chamar a atenção sobre os aspectos
matemáticos que envolvem os estudos
dos números, tão importantes quanto os
que tratam de seus usos e significados
sociais. Dentre essas atividades,
destacam-se as que estimulam o aluno a
perceber regularidades, a estabelecer
semelhanças e diferenças entre escritas
numéricas, a analisar definições.
É fundamental que o estudo não se
limite aos textos e propostas de
atividades apresentadas, mas que este
capítulo seja um roteiro de estudo, a ser
Matem∙tica 76-150.pmd 88 11/7/2003, 09:21
89
ampliado pela consulta de outras fontes
bibliográficas. As atividades
apresentadas em forma de teste, com
respostas ao final, são uma
oportunidade para que o aluno confira
suas respostas e retome, se for o caso,
pontos que ainda não foram claramente
compreendidos.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: matemática: séries iniciais. Brasília, DF, 1997.
______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: séries finais. Brasília, DF,
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Gomide.
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IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos
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LERNER DE ZUNINO, D. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Tradução de Juan
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PARRA, C. et al. Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1996. Tradução de Juan Acuna Llorens.
PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Artmed,
1999. Tradução de Bruno Charles Magne.
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
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RODRIGUES, W. S. Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente
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2001.
VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. Lisboa: Antídoto, 1979. Tradução de M.
Resende.
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 89 11/7/2003, 09:21
90
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
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91
Geometria – leitura e
representação da realidade
Norma Kerches de Oliveira Rogeri
O pensamento geométrico é um recurso
extremamente importante para
resolução de muitos problemas da nossa
vida cotidiana. Muitas vezes, no
entanto, nos deparamos com
dificuldades na busca da solução desses
problemas por “ausência” de habilidades
geométricas que podem ser
desenvolvidas a partir de situações onde
a percepção, representação, construção
e concepção estão presentes.
O professor, ao trabalhar com a
geometria, precisa estruturar o trabalho
de tal forma que possibilite ao aluno
desenvolver um tipo especial de
pensamento que lhe permita
compreender, descrever e representar, de
forma organizada, o mundo em que vive.
No capítulo, as atividades valorizam a
percepção espacial para que o aluno
possa estabelecer conexões entre a
Matemática e as outras áreas do
conhecimento, na busca de argumentos
lógicos e de procedimentos de
generalização.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
A finalidade deste texto é possibilitar ao
aluno a utilização do conhecimento
geométrico para realizar a leitura e a
representação da realidade e agir sobre
ela. Para isso, o aluno será estimulado a
construir conceitos geométricos e a
utilizá-los por meio de atividades que
possibilitem os desenvolvimentos das
habilidades:
• Identificar e interpretar fenômenos de
qualquer natureza expressos em
linguagem geométrica.
• Construir e identificar conceitos
geométricos no contexto da atividade
cotidiana.
• Interpretar informações e aplicar
estratégicas geométricas na solução
de problemas do cotidiano.
• Utilizar conceitos geométricos na
seleção de argumentos propostos como
solução de problemas do cotidiano.
• Recorrer a conceitos geométricos para
avaliar propostas de intervenção sobre
problemas do cotidiano.
UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO
PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO
DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo IV
Matem∙tica 76-150.pmd 91 11/7/2003, 09:21
92
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
As idéias e conceitos geométricos são
abordados neste texto, principalmente,
através de situações do cotidiano onde
aparecem como um poderoso recurso
para solucionar as questões propostas.
Além disso, a geometria será associada
não apenas a essas dimensões práticas,
mas, também, em suas relações com a
Arte e a Arquitetura, ou seja, em suas
relações com a estética e a harmonia.
A resolução de problemas é a estratégia
metodológica privilegiada, pois
possibilita ao aluno a análise e a
interpretação de situações e,
principalmente, a aplicação das idéias e
conceitos geométricos na busca de
soluções dessas situações.
As atividades propostas caracterizam-se
pela problematização de situações em
que o aluno precisa identificar e
interpretar conceitos e procedimentos
geométricos, usando a percepção
espacial para compreender e representar
os fenômenos da natureza, gerando,
com isso, possibilidades de intervenção
na realidade e na busca de melhor
qualidade de vida.
Além disso, algumas situações
propostas sugerem o uso de conceitos
geométricos como ferramentas para
resolver problemas de grandezas e
medidas, possibilitando a articulação
entre os eixos temáticos da matemática.
Neste texto, as atividades foram
estruturadas de tal forma que
possibilitem ao aluno perceber,
representar, construir e conceber idéias
e formas geométricas e, assim,
desenvolver habilidades de
visualização, percepção espacial,
análise, criatividade, principalmente,
para resolver problemas geométricos da
sua vida cotidiana. No entanto, a
aprendizagem não decorre das
atividades propostas ao aluno, mas sim,
das relações que ele estabelece a nível
de pensamento entre significados e
conceitos. Assim, o texto deve
representar uma estratégia que
possibilite e promova a reflexão do
aluno sobre aspectos importantes de
determinados conceitos que estão sendo
desenvolvidos e não se limite, apenas,
aos textos e às propostas de atividades.
Ele deve ser um fio condutor do
trabalho, a ser ampliado também pela
consulta de outras fontes bibliográficas.
É importante que o aluno registre
dúvidas e questionamentos em relação
às atividades do texto e que possa, com
isso, ter orientação do professor para
garantir sua aprendizagem.
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93
BIBLIOGRAFIA
BOYER, C.B. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 1974. Tradução de Elza F.
Gomide.
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JAKUBO, I.; LELLIS, M. C. Para que serve matemática?: geometria. 4. ed. São Paulo:
Atual, 1992.
MACHADO, N. J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. Ilustrações de Rogério
Nunes Borges. 3. ed. São Paulo: Scipione, 1992. (Vivendo a Matemática).
______. Epistemologia e didática: as concepções de conhecimento e inteligência e a
prática docente. 2. ed. São Paulo: Cortez, 1996.
PIRES, C. M. C.; CURI, E. Transformando a prática das aulas de matemática. São
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Pires, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: Edusp, 1995.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Experiências matemáticas de 5ª a 8ª série. Colaboração de Célia Maria
Carolino Pires et al. São Paulo, 1996. (CENP, v. 446).
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 93 11/7/2003, 09:21
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95
As medidas e a compreensão
da realidade
Dulce Satiko Onaga
Para aprender Matemática com
significado, é importante desenvolver
competências que permitam estabelecer
conexões entre estes temas e as demais
áreas do conhecimento e entre estes
temas e as situações do cotidiano.
Muitos dos fatos com os quais
convivemos ou podemos observar no
dia-a-dia envolvem medidas e
grandezas. Elas nos dão informações
sobre as distâncias que percorremos, o
tamanho da nossa casa, a capacidade da
nossa caixa d’água, a quantidade de
alimentos que necessitamos, o nosso
gasto com energia elétrica, a
organização do nosso tempo e outras
coisas mais.
A necessidade de medir é muito antiga.
Depois que os homens foram deixando
de ser apenas caçadores e coletores de
alimentos, foram se fixando no solo,
como agricultores. Deixaram
gradativamente a vida nômade e
tornaram-se, aos poucos, cada vez mais
sedentários.
Os egípcios antigos, por exemplo,
cultivavam as terras nas margens do rio
Nilo. Elas eram demarcadas de acordo
com cada grupo de agricultores. As
cheias do rio destruíam essas
demarcações, o que os obrigavam a
refazê-las todos os anos.
Para usar essas terras, os agricultores
pagavam impostos ao Faraó. Hoje,
pagamos IPTU (Imposto Predial e
Territorial Urbano), imposto que a
Prefeitura da maioria das grandes
cidades recolhe dos contribuintes que
possuem um imóvel ou terreno no
município.
No início, é possível que as pessoas
apenas comparassem grandezas.
Quando pensaram em construir suas
casas, fazer suas plantações, armazenar
CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo V
Matem∙tica 76-150.pmd 95 11/7/2003, 09:21
96
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
seus produtos, controlar sua produção,
elas se depararam com problemas de
medidas. Para resolver aqueles que
envolviam comprimentos, criaram
unidades de medidas que, em geral,
eram provenientes do tamanho das
partes do corpo do governante de cada
país. Como elas não eram comuns a
todos, foram surgindo dificuldades,
principalmente nas trocas comerciais.
Começou-se então, a busca por uma
padronização de unidades, o que
caracterizou melhor o desenvolvimento
da noção de medir.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
A finalidade do capítulo é auxiliar o
leitor no desenvolvimento da
competência de construir e ampliar
noções de grandezas e medidas para a
compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
Esta competência é traduzida por meio
das seguintes habilidades:
• Identificar e interpretar registros
utilizando a notação convencional de
medidas.
• Estabelecer relações adequadas entre
diversos sistemas de medidas e a
representação de fenômenos naturais
e do cotidiano.
• Selecionar, compatibilizar e operar
informações métricas de diferentes
sistemas ou unidades de medidas na
resolução de problemas do cotidiano.
• Selecionar e relacionar informações
referentes a estimativas ou outras
formas de mensuração de fenômenos
de natureza qualquer com a
construção de argumentação que
possibilite sua compreensão.
• Reconhecer propostas adequadas de
ação sobre a realidade, utilizando
medidas e estimativas.
No capítulo, as atividades com medidas
são desenvolvidas estabelecendo
relações com os conceitos geométricos
e numéricos, com proporcionalidade e
as representações gráficas, pretendendo,
assim, vincular Medidas com Números,
Geometria e Tratamento da Informação,
de modo que o trabalho com esses
quatro temas se dê simultaneamente.
Os temas abordam situações do
cotidiano em que são propostos
problemas que propiciem a reflexão, a
discussão e a resolução dos mesmos, de
forma a constituir o ponto de partida
para a construção dos conceitos.
No primeiro momento, os alunos são
convidados a opinarem sobre a situação
proposta. O professor, se preferir, poderá
pedir pedir-lhes que leiam os textos com
antecedência, ou que façam uma leitura
silenciosa em classe, e depois promover
uma discussão, encerrando com uma
primeira síntese do tema tratado.
Acreditamos que melhorar a capacidade
de ler, interpretar e resolver problemas
faz parte da construção do
conhecimento matemático. Além disso,
explorar assuntos do interesse dos
alunos despertará sua curiosidade,
envolvendo-os numa busca de novos
conhecimentos e enriquecendo aqueles
que já possuem.
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97
As atividades procuram explicitar as
diferenças da natureza entre medidas de
comprimento, massa, capacidade,
tempo, área, volume e energia elétrica e
pretendem que os alunos justifiquem a
necessidade da unidade padrão. É
importante observar que a necessidade
de trabalhar com as unidades
convencionais está relacionada com um
problema de comunicação. Para efetuar
uma medição escolhemos uma unidade
de medida de mesma natureza da
grandeza que queremos medir.
Apresentando as unidades padrão para
essas grandezas, são propostas situações
que possibilitam aos alunos
estabelecerem relações entre unidades
de medidas e utilizarem múltiplos e
submúltiplos das unidades
fundamentais, com ênfase apenas nas
unidades mais comuns no dia-a-dia. Ao
construírem as unidades legais espera-se
que eles percebam que certos
comprimentos, ou outros tipos de
medidas, não são mensuráveis com
apenas uma determinada unidade e que
a partir desta pode-se criar outras
unidades. Assim, eles começam a
adequar as unidades de medida às
grandezas que se deseja medir, e a
descobrir a equivalência entre as
unidades criadas em um mesmo sistema
de medida.
As habilidades para o uso e a leitura de
instrumentos apropriados para medir
diversas grandezas vão se refinando
gradativamente.
A avaliação precisa ser contínua,
dinâmica e, com freqüência, informal,
V – Orientação para o trabalho do professor
para que por meio de uma série de
observações sistemáticas, o professor
possa emitir um juízo valorativo sobre a
evolução dos alunos e tomar as atitudes
necessárias.
O procedimento de registro pode ser
simples, exigindo pouco tempo para
anotá-lo e levando em conta:
• as respostas dos estudantes, quando
eles manifestam de forma implícita ou
explícita suas certezas, dúvidas e
erros;
• as observações das ações e discussões
efetuadas durante as tarefas
individuais, em grupos pequenos ou
com a classe toda;
• análise de provas, tarefas feitas em
casa, diários e trabalhos escritos.
Outras sugestões que poderão auxiliar o
professor:
• Sugerir uma leitura complementada
com pesquisas e discussão em sala de
aula ou exposição dos resultados das
pesquisas realizadas.
• Organizar palestras, sessões de vídeos,
visita a exposições e museus.
• Promover um trabalho integrado com
outras áreas: Ciências, Geografia,
Educação Artística, explorando
notícias locais, e também, matérias de
jornais e revistas.
• Utilizar a História da Matemáticas
pois ela poderá despertar o interesse
dos alunos. Incentivá-los a
pesquisarem outras unidades de
medida que foram usadas ao longo da
História da humanidade.
Matem∙tica 76-150.pmd 97 11/7/2003, 09:21
98
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
BIBLIOGRAFIA
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Curriculares Nacionais: Matemática: 1º e 2º ciclos. Brasília, DF, 1997.
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Brasília, DF, 1998.
______. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino
fundamental: Matemática. Brasília, DF, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática
e suas tecnologias. Brasília, DF, 1999.
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Atual, 1998. Tradução de Higino H. Domingues.
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Higino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1984.
LOPES, M. L.; NASSER, L. (Coord.) Geometria na era da imagem e do movimento. Rio
de Janeiro: Ed. da UFRJ, 1996.
• Propiciar outras atividades de
medição, utilizando unidades não
padronizadas, nas quais os alunos
poderão perceber medidas diferentes,
decorrentes da diferença entre as
unidades utilizadas.
• Explorar outros instrumentos
utilizados na medição de
comprimento, massa, capacidade e
fazendo-os perceber a adequação de
cada um às situações de medição.
Matem∙tica 76-150.pmd 98 11/7/2003, 09:21
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MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: Análise de uma impregnação mútua.
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REVISTA DO ENEM. Brasília, DF: Inep. v. 1, n. 1.
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SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. A educação Matemática em
revista, n. revista 1-2, 1999.
V – Orientação para o trabalho do professor
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101
Proporcionalidade:
uma idéia fundamental
Ruy César Pietropaolo
A aprendizagem de noções, conceitos e
procedimentos matemáticos é
fundamental para a formação do cidadão,
pois permite a aquisição de ferramentas
básicas para que ele possa resolver
situações da vida diária, compreender
melhor o próprio ambiente, comunicar
idéias e mesmo entender assuntos das
diversas áreas do conhecimento. Mas,
para isso, esse processo não pode limitarse a uma simples memorização de regras
e técnicas e nem ao conhecimento formal
de definições.
Entre as diversas noções matemáticas
que devem ser desenvolvidas pelos
jovens e adultos, destaca-se a de
proporcionalidade, o tema central deste
texto. Essa noção é fundamental, pois
está presente no dia-a-dia das pessoas
em diversas situações, tais como a
interpretação de um mapa ou da planta
de um edifício, a ampliação de uma foto,
a receita de uma torta, a leitura de um
gráfico em jornais, estimativas de preços
etc.
Além disso, a noção de
proporcionalidade é necessária para
estudar diversos temas da Matemática e
de outras áreas do conhecimento, como
Física, Biologia, Psicologia, Geografia
etc.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O capítulo está voltado para o
desenvolvimento da competência de
construir e ampliar noções de variação
de grandezas direta e inversamente
proporcionais para a compreensão da
realidade e a solução dos problemas do
cotidiano. Mas, para isto, é fundamental
que os jovens e adultos desenvolvam
um conjunto de habilidades que
expressem essa competência. São elas:
• Identificar grandezas direta e
inversamente proporcionais e
interpretar a notação usual de
porcentagem.
• Identificar e avaliar variação de
grandezas para explicar fenômenos
naturais, processos socioeconômicos e
da produção tecnológica.
• Resolver problemas envolvendo
grandezas direta e inversamente
proporcionais e porcentagens.
CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo VI
Matem∙tica 76-150.pmd 101 11/7/2003, 09:21
102
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Identificar e interpretar variações
percentuais de variável
socioeconômica ou técnico-científica
como importante recurso para a
construção de argumentação
convincente.
• Recorrer a cálculos com porcentagens
e relações entre grandezas
proporcionais para avaliar a adequação
de propostas de intervenção na
realidade.
Assim, procurou-se sugerir ao aluno
que, mediante uma situação-problema
envolvendo variação de grandezas, faça
as seguintes perguntas:
• Uma grandeza depende da outra?
• Se sim, como se dá essa dependência?
• Por que é importante saber como elas
se relacionam?
• É importante identificar o tipo de
variação?
• No que isso pode me ajudar a resolver
o problema?
Para isso, foram propostas situações em
que há proporcionalidade direta ou
inversa entre grandezas, além de
situações em que não há
proporcionalidade.
Há um significativo consenso entre os
educadores de que a utilização da
situação-problema como ponto de
partida da atividade matemática é uma
forma de possibilitar o desenvolvimento
de capacidades fundamentais, como
observação, estabelecimento de
relações, comunicação, argumentação e
validação de processos. A resolução de
problemas possibilita, assim, o
desenvolvimento de formas do
raciocínio como intuição, indução,
dedução e estimativa.
Desse modo, a abordagem
metodológica deste texto é a resolução
de problemas em contextos diversos,
como aqueles do cotidiano, e de outras
áreas do conhecimento, como física e
economia.
A elaboração deste texto levou em
conta que, para o desenvolvimento da
noção de proporcionalidade, é
fundamental a exploração de situações
de aprendizagem que levem o estudante
a observar a variação entre grandezas,
estabelecer relação entre elas e construir
estratégias de solução para resolver
situações que envolvam esta importante
noção.
No texto, é apresentada, de início, uma
situação cujas grandezas envolvidas não
variam proporcionalmente. O aluno, por
meio de seus conhecimentos prévios,
poderá responder à questão proposta.
Em seguida, é apresentada outra
situação, mas envolvendo grandezas
diretamente proporcionais. Depois, é
feita uma breve sistematização do que
foi discutido nessas duas situações:
grandezas diretamente proporcionais e
grandezas não proporcionais.
Ainda na primeira parte, o aluno
aprenderá a identificar grandezas
inversamente proporcionais e calcular
porcentagens por meio da
proporcionalidade. Ou seja,
conhecendo-se quanto é 10% de um
valor, ele pode calcular qualquer outra
porcentagem.
Na segunda parte do texto, procurou-se
destacar a representação gráfica de
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103
grandezas diretamente proporcionais e a
representação de grandezas
inversamente proporcionais.
O destaque da terceira parte do texto é
para a propriedade fundamental das
proporções. Para a resolução das
diversas situações propostas,
envolvendo tanto as grandezas direta
quanto as inversamente proporcionais,
discute-se a utilização da regra de três.
Na quarta parte do texto, os jovens
terão oportunidade de analisar um
problema sobre variação de grandezas
envolvendo geometria e medidas. No
texto, discute-se que a área do
quadrado é diretamente proporcional
não ao seu lado, mas sim, ao quadrado
deste. Os estudantes são convidados a
analisar a validade de algumas
argumentações, bem como elaborar
outras.
Na última parte, os alunos deverão
utilizar as noções que foram
desenvolvidas para analisar propostas
de intervenção na realidade.
A maneira pela qual os conteúdos são
abordados neste capítulo pode
favorecer o processo de compreensão
do estudante sobre os conceitos e
procedimentos desenvolvidos e
incentivá-lo à aplicação destes em
situações de sua realidade.
Sugerimos o uso de calculadoras nas
situações em que há muitos cálculos,
para agilizar os resultados e permitir
que o aluno se dedique mais tempo às
questões relevantes da situação
proposta.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: temas transversais: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF, 1998.
______.Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF,
1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática
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BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino
fundamental para o segmento de jovens e adultos. Brasília, DF, 2002.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 6. ed. Lisboa: Brás
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CURI, E.; PIRES, C. M.C.; PIETROPAOLO, R.C. Educação matemática. São Paulo: Atual,
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D’AMBROSIO, U. Globalização, educação multicultural e etnomatemática. Brasília, DF.
MEC, 1997. TEXTO APRESENTADO NA JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS, 1997.
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 103 11/7/2003, 09:21
104
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, 2000.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Experiências matemáticas. São Paulo, 1994.
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Educação Matemática em
Revista. São Paulo. v. 7-12. Revista
Matem∙tica 76-150.pmd 104 11/7/2003, 09:21
105
Neste texto, procuraremos enfatizar
diferentes funções da álgebra, para que
o aluno da Educação de Jovens e
Adultos, além de ampliar sua visão
sobre ela, possa construir um
pensamento algébrico que, juntamente,
com o pensamento aritmético e
geométrico, lhe permita resolver
problemas.
A Álgebra será apresentada com as
funções de:
• generalizar dados aritméticos: as • generalizar dados aritméticos
variáveis teriam a função de
representar a generalidade de uma
propriedade ou característica que é
sempre observada;
• representar a relação entre
grandezas: grandezas aqui, as variáveis
modificam-se com a alteração da
quantidade de grandeza;
• servir para manipulação
simbólica: simbólica: essa simbólica: função, muito
importante na Matemática, encontra,
hoje, aplicação prática em diversas
áreas, dentre elas a eletricidade e a
informática;
• resolver problemas difíceis do ponto
de vista aritmético.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O capítulo tem como finalidade estimular
o aluno a construir e utilizar conceitos
algébricos para modelar e resolver
problemas. Essa competência concretizase por meio de diferentes habilidades:
• Identificar, interpretar e utilizar a
linguagem algébrica como uma
generalização de conceitos
aritméticos.
• Caracterizar fenômenos naturais e
processos da produção tecnológica,
utilizando expressões algébricas e
equações do 1º e 2º graus.
• Utilizar expressões algébricas e
equações do 1º e 2º graus para
modelar e resolver problemas.
• Analisar o comportamento de uma
variável, utilizando ferramentas
algébricas como importante recurso
para a construção de argumentação
consistente.
A Álgebra, suas
funções e seus usos
Angélica da Fontoura Garcia Silva
CONSTRUIR E UTILIZAR CONCEITOS ALGÉBRICOS
PARA MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo VII
Matem∙tica 76-150.pmd 105 11/7/2003, 09:21
106
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Avaliar, com auxílio de ferramentas
algébricas, a adequação de propostas
de intervenção na realidade.
Os conteúdos são abordados tomando
como eixo as funções da álgebra e a sua
linguagem, até a modelização e a
solução de problemas.
Essa modelização se dará, num primeiro
momento, com a interpretação de
situações dadas, que devem ser
traduzidas por uma equação: isso levará
os alunos a compreenderem os
princípios multiplicativos e aditivos da
igualdade e do significado da raiz.
Desse modo, procurou-se não insistir
sobre aspectos puramente mecânicos e
mnemônicos da álgebra, mas sim, sobre
seus significados, a fim de que o
estudante saiba utilizá-los na resolução
de problemas.
Evidentemente, todo este trabalho
inicial deverá ser enriquecido pelo
professor, com as discussões que fará
em sua sala, de onde partirão também,
por exemplo, sugestões de outras
propriedades numéricas e geométricas
que poderão ser citadas e generalizadas.
As traduções para a linguagem algébrica
poderão ser trabalhadas utilizando-as
em situações de jogos, como o da
memória ou dominó, dentre outros.
A opção por este enfoque leva em conta
estudos recentes que mostram que
apenas a repetição mecânica de
procedimentos, prática comum até bem
pouco tempo na escola, contribuiu
muito pouco para o desenvolvimento
do pensamento algébrico do aluno.
Para que o estudante utilize
conhecimentos algébricos em suas
argumentações, apresentamos uma
situação-problema: duas opções de
preços que serão vantajosas ou não,
dependendo do número de dias durante
os quais se pretende alugar bicicletas.
Essa situação, quando tratada na sala de
aula, poderá ser complementada
também com uma solução gráfica.
Para a construção de propostas de
intervenção, decidimos tratar de uma
situação real, que é a do Imposto de
Renda, onde os valores da parcela a
deduzir existem para corrigir as
possíveis “distorções” dos impostos
devidos nos intervalos próximos aos
limites das diferentes faixas – para uma
situação em que um empregador quer
dar um aumento escalonado aos seus
funcionários.
Enfim, a proposta é levar o estudante a
observar regularidades e identificar a lei
de formação de seqüência, padrões,
observação de tabelas e propriedades
aritméticas, utilizando-se de análise de
situações-problema e comparando
possibilidades de resolução (aritméticas
e algébricas) com as respostas obtidas,
construindo argumentações e propostas
de intervenção.
Dentre as atividades propostas,
destacamos algumas situações que
podem ser introduzidas com um jogo do
mágico envolvendo a classe toda, onde
se coloca uma tabela com o número
falado pelo aluno e o respondido pelo
professor. Essa regra pode ser simples,
inicialmente, e depois chegar a outras
que possam encontrar mais que uma
Matem∙tica 76-150.pmd 106 11/7/2003, 09:21
107
tradução, como, por exemplo, y = 3x +
3 ou Y = 3 ( x+1), ou até mesmo a
tabelas que incluam números racionais
ou negativos. O mesmo pode ser feito
com a atividade da adivinhação.
Generalizamos, também, alguns padrões
geométricos e algumas seqüências
numéricas. Utilizamos a análise
geométrica da propriedade distributiva
para desenvolver o quadrado da soma.
Os fenômenos naturais e processos de
produção tecnológica foram
caracterizados por expressões
algébricas, no exemplo dos satélites e
da queda de corpos. Outros exemplos
simples, como o da densidade ou
velocidade média, poderiam ser
analisados pela turma.
Nos problemas do cotidiano,
procuramos enfocar situações que
envolvam equações e cujo principal
objetivo é fazer o estudante aplicar os
conhecimentos algébricos para resolvêlas. Aqui, as diferentes formas de
resolver os problemas poderão ser um
atrativo maior para o exercício
constante da reflexão crítica,
desenvolvendo habilidades de
raciocínio, tais como investigação,
inferência, reflexão e exploração.
Evidentemente, esta proposta deverá ser
enriquecida de modo a tornar este texto
plenamente adequado aos alunos. O
papel do professor é fundamental,
ampliando ou reduzindo as atividades.
Seu trabalho é crucial no
encaminhamento metodológico
proposto, baseado na metodologia da
resolução de problemas, cujo enfoque
recai, principalmente, sobre o processo
e o trabalho em grupo.
Quanto à questão da avaliação, na
perspectiva do trabalho aqui proposto,
ela ganha outros contornos, já que não
seria possível acontecer numa única
prova. É importante que o professor se
utilize de diferentes instrumentos de
avaliação, e que procure observar,
continuamente, o desenvolvimento do
seu aluno, nas produções escritas e nas
discussões orais. Embora não tenham o
mesmo peso que lhes era conferido
anteriormente, as avaliações individuais
devem continuar como parte do
processo geral de avaliação da
aprendizagem do aluno, só que
acrescida de uma outra fase, em que o
aluno prepara um relatório de análise
desta avaliação, garantindo um
momento de reflexão sobre o que foi
avaliado anteriormente.
BIBLIOGRAFIA
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Blücher, 1974.Tradução de
Elza F. Gomide.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais, 1997. 10 v.
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 107 11/7/2003, 09:21
108
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CAMPOS, T. M. M. (Coord. de); PIRES, C. M. C.; CURI, E. Transformando a prática das
aulas de matemática: textos preliminares 5ª a 8ª série. São Paulo: Proem, 2001.
GUELLI, O. Contando a história da matemática: equação: o idioma da álgebra. 2. ed.
São Paulo: Ática, 1993.
IMENES, JAKUBO, LELLIS . Álgebra e equação do 2º grau. 2. ed. São Paulo: Atual,
1993. (Pra que serve a Matemática).
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino de Matemática: 1º grau. 4. ed. São
Paulo, 1992.
SOUZA, E. R. de; DINIZ, M. I. de S. V. Álgebra: das variáveis às equações e funções. 2.
ed. São Paulo: IME-USP, 1994. (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática;
Caem, v. 5).
Matem∙tica 76-150.pmd 108 11/7/2003, 09:21
109
A Estatística e sua importância
no mundo da informação
Edda Curi
O exercício da cidadania pressupõe que
as pessoas desenvolvam sua capacidade
de aprender, tendo como meios o
domínio da leitura, da escrita e do
conhecimento matemático, de tal forma
que lhes seja permitido compreender o
mundo, o ambiente natural, cultural e
político à sua volta, as artes, a
tecnologia e os valores que
fundamentam a sociedade, para nela
atuar de forma crítica e participativa.
A Matemática pode contribuir para que
jovens e adultos tenham melhor
compreensão do mundo em que vivem,
pois, mesmo excluídos do processo
educacional, jovens e adultos precisam
compreender informações muitas vezes
contraditórias, que incluem dados
estatísticos e tomadas de decisões
diante de questões políticas e sociais
que dependam da leitura crítica e da
interpretação de índices divulgados
pelos meios de comunicação.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O capítulo está voltado para o
desenvolvimento da competência
destacando o estudo de Estatística, que
tem especial relevância no mundo de
hoje, tendo em vista que conceitos e
procedimentos estatísticos são de
importância fundamental às tomadas de
decisão diante de incertezas.
Espera-se que os jovens e adultos
desenvolvam um conjunto de
habilidades que traduzam essa
competência:
• Reconhecer e interpretar informações
de natureza científica ou social
expressas em gráficos ou tabelas.
• Identificar ou inferir aspectos
relacionados a fenômenos de natureza
científica ou social, a partir de
informações expressas em gráficos ou
tabelas.
• Selecionar e interpretar informações
expressas em gráficos ou tabelas para
INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E
SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS,
REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO,
INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo VIII
Matem∙tica 76-150.pmd 109 11/7/2003, 09:21
110
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
a resolução de problemas: analisar o
comportamento de variável expressa
em gráficos ou tabelas, como
importante recurso para a construção
de argumentação consistente.
• Avaliar, com auxílio de dados
apresentados em gráficos ou tabelas, a
adequação de propostas de
intervenção na realidade.
Em todo o capítulo, foram utilizados
textos de jornais e revistas, pois são
recursos didáticos ricos em informações,
com uma organização que utiliza
diferentes representações: tipos de letras,
fotos, tabelas, gráficos etc. Eles foram
utilizados não apenas para a leitura e
interpretação de gráficos e tabelas, mas
para a leitura e análise de textos.
Como acontece com outras
aprendizagens, a aquisição de novos
conhecimentos deve considerar os
conhecimentos prévios dos alunos. No
caso deste capítulo, foram considerados
conceitos decorrentes das vivências dos
jovens e adultos, de suas interações
sociais e de sua experiência pessoal, pois
os adultos têm conhecimentos bastante
diversificados que enriquecem a
aprendizagem.
O capítulo privilegiou o enfoque de
resolução de problemas na abordagem
dos conteúdos. O trabalho com a
metodologia de resolução de problemas
favorece o aprendizado, pois engloba a
exploração do contexto da situação; a
possibilidade de desenvolver atitudes de
perseverança, nos jovens e adultos, em
busca de resultados; a capacidade de
comunicar-se matematicamente e de
utilizar processos de pensamento
abstrato.
É importante destacar que a resolução de
problemas vem se tornando um recurso
indispensável no processo de ensino e
aprendizagem. O problema é o ponto de
partida para a atividade matemática, é
uma situação que demanda a realização
de uma seqüência de ações para se obter
um resultado, ou seja, a solução não está
disponível, mas é possível construí-la.
Outra preocupação foi a de dar
significado à atividade matemática,
estabelecendo conexões entre os
diferentes temas matemáticos e,
também, entre esses temas e as demais
áreas do conhecimento e as situações
do cotidiano. O estabelecimento de
relações é fundamental para que o
estudante compreenda, efetivamente, os
conteúdos matemáticos. Abordados de
forma isolada, eles não se tornam uma
ferramenta eficaz para resolver
problemas e para a aprendizagem ou
construção de novos conceitos.
Na primeira parte do capítulo, discutese a necessidade de se estudarem
algumas noções de Estatística.
Na segunda parte, os jovens têm a
oportunidade de ler dados (apresentados
em diferentes tipos de gráficos e de
tabelas simples) e de reconhecer
informações. Além dos problemas
discutidos no texto, têm a oportunidade
de resolver mais cinco problemas e de
escrever um pequeno texto, no qual
descrevem suas observações em relação
a alguns gráficos estudados.
Na terceira parte, os jovens têm a
oportunidade de interpretar dados
apresentados em tabelas de dupla
Matem∙tica 76-150.pmd 110 11/7/2003, 09:21
111
entrada e em diferentes tipos de
gráficos, além de fazer inferências, a
partir da interpretação de dados, como
no caso do gráfico que apresenta a
média de filhos por mulher, nos
últimos anos. Além dos problemas
resolvidos no texto, os jovens têm a
oportunidade de resolver mais oito
atividades. Nessa parte do texto, há
indicações para que o jovem aprofunde
seus conhecimentos sobre construções
de gráficos.
Na quarta parte do texto, os jovens têm
a oportunidade de resolver problemas
para os quais precisam interpretar os
dados apresentados em tabelas ou
gráficos. Além dos problemas resolvidos
no corpo do texto, têm a oportunidade
de resolver mais sete problemas para
aprofundamento e de escrever um
pequeno texto a respeito da distribuição
de renda no país.
Na quinta parte do texto, os jovens têm
a oportunidade de utilizar os dados
apresentados em gráficos e tabelas
como recurso de argumentação.
Também nessa parte, além das
atividades discutidas no texto, há mais
quatro situações nas quais os jovens
podem exercitar sua argumentação.
Na última parte, a Estatística é usada
para analisar intervenções na realidade.
Os jovens são convidados a analisar
indicadores sociais no Brasil e em
alguns países da América Latina,
analisando a intervenção de uma ONG.
Depois têm a oportunidade de propor
uma intervenção, partindo da análise do
indicador escolhido.
As atividades propostas podem ser
desenvolvidas com os alunos
organizados em pequenos grupos, pois
o trabalho em grupos gera um ambiente
que se caracteriza pela proposição,
investigação e exploração de diferentes
idéias por parte
112
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
BIBLIOGRAFIA
LOPES, P. A. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: Reichman & Affonso, 1999.
BERENSON, M. L.; Elevine, D. M. Basic business statistics: concepts and applications.
7. ed. New Jersey: Prentice-Hall, 1996.
MEYER, R.D.; LIND, D.A. Statistical techniques in business & economics. [s. l.], 1996.
BRASIL.Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais para o ensino fundamental para o segmento de jovens e
adultos. Brasília, DF: MEC, 2002.
CURI, E.; PIRES, C. M. C; PIETROPAOLO, R. C. Educação matemática. São Paulo: Atual,
2002.
D´AMBROSIO,U. Globalização, educação multicultural e etnomatemática. Campinas:
Unicamp, 1986. Texto apresentado na JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA, 1986.
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: FTD, 2000.
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Educação Matemática em
Revista, São Revista Paulo, v. 7-12, [199?].
conteúdos procedimentais, como a
construção de uma circunferência com
compasso, construção de ângulos com
transferidor.
Ao final do texto, o aluno deverá ser
capaz de organizar e analisar
informações, construir e interpretar
tabelas e gráficos, formular argumentos
convincentes, tendo por base a análise
de dados organizados em
representações matemáticas sobre
situações da realidade brasileira. A
sugestão é que o aluno registre suas
dúvidas em relação às atividades do
texto e, a partir desses registros,
selecione os conceitos/procedimentos
que precisam ser melhor trabalhados
com ajuda do professor.
A proposta é que este texto seja um
roteiro de estudo, possível de ser
ampliado pela consulta de outras fontes
bibliográficas.
Matem∙tica 76-150.pmd 112 11/7/2003, 09:21
113
Explorando situações
numéricas
Cláudio Saiani
Falar de Matemática na Educação de
Jovens e Adultos é um tanto diferente
de tratar da mesma disciplina para
crianças. Permanecem os objetivos de
longo alcance, conforme expressos nos
Parâmetros Curriculares Nacionais: a
matemática desenvolve o raciocínio
lógico, a capacidade de abstrair,
generalizar, transcender o que é
imediatamente sensível (PCN, p. 9).
Por outro lado, lidando com medição,
contagem e técnicas de cálculo, ela é
uma importante ferramenta para tratar
de aspectos práticos da realidade.
Para uma criança, esses aspectos práticos
podem ser direcionados de modo a
introduzi-la no “mundo dos adultos”.
Certas situações são novidade para ela e,
daí, vem seu poder motivador. Ao lidar
com a Educação de Jovens e Adultos,
devemos ter em mente que o estudante já
traz uma bagagem tácita de
conhecimentos e habilidades, diferentes
dos de uma criança e, possivelmente,
dentro de um trajeto distinto daquele que,
em geral é ditado pela educação formal.
No capítulo, focalizamos determinadas
situações retiradas de contextos
diversos da ciência e da tecnologia. A
intenção é dupla. Por um lado,
instrumentalizar o aluno para a leitura
de textos em que compareçam números
que, normalmente, ele não vê em suas
atividades cotidianas. Por outro,
propiciar pretextos para que ele
pesquise sobre conceitos científicos, sua
aplicação e adequação. Em suma,
colaborar para que ele se torne um leitor
do mundo mais proficiente e
competente e para que as fronteiras de
seu mundo se ampliem, de modo a
ultrapassar os limites de seu dia-a-dia.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
A competência deste capítulo se
materializa nas seguintes habilidades:
• Identificar e interpretar estratégias e
situações matemáticas numéricas
aplicadas em contextos diversos da
ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana.
COMPREENDER CONCEITOS, ESTRATÉGIAS E SITUAÇÕES
MATEMÁTICAS NUMÉRICAS PARA APLICÁ-LOS A SITUAÇÕES
DIVERSAS NO CONTEXTO DAS CIÊNCIAS, DA TECNOLOGIA E DA
ATIVIDADE COTIDIANA.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo IX
Matem∙tica 76-150.pmd 113 11/7/2003, 09:21
114
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Construir e identificar conceitos
matemáticos numéricos na
interpretação de fenômenos em
contextos diversos da ciência, da
tecnologia e da vida cotidiana.
• Interpretar informações e aplicar
estratégias matemáticas numéricas na
solução de problemas em contextos
diversos da ciência, da tecnologia e da
vida cotidiana.
• Utilizar conceitos e estratégias
matemáticas numéricas na seleção de
argumentos propostos como solução
de problemas em contextos diversos
da ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana.
• Recorrer a conceitos matemáticos
numéricos para avaliar propostas de
intervenção em contextos diversos da
ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana.
Quando procuramos matemática nos
campos da ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana, logo nos deparamos com uma
tal variedade de escolhas que a simples
opção por um conteúdo específico já é
uma tarefa difícil. Por outro lado, se as
aplicações da matemática em qualquer
âmbito já apresentam forte potencial
motivador, muitas vezes os obstáculos
inerentes à própria matemática somam-se
as dificuldades próprias da situação
científica ou tecnológica em foco.
Tendo em vista esse fato, procuramos
abordar conteúdos com aplicações em
vários ramos da ciência (e, também, em
menor grau, da vida cotidiana), de
modo a revelar a aplicabilidade dos
conceitos e estratégias, ao mesmo
tempo, procurando apresentar assuntos
potencialmente passíveis de um
desenvolvimento mais amplo, a critério
do professor. A escolha recaiu sobre a
notação científica, as porcentagens, o
Princípio Fundamental da Contagem e
as probabilidades.
Enfatizamos conceitos e habilidades
numéricas de determinadas situações,
de modo que o estudante pudesse lidar
com elas, prescindindo, por exemplo, de
conhecimentos algébricos, que são
objeto de outro capítulo. Dessa forma, a
resolução de problemas, que apenas se
anuncia nos itens 1 e 2, é assumida
plenamente a partir do item 3.
Procuramos situações com que o aluno
pudesse lidar, utilizando apenas as
quatro operações, privilegiando um
raciocínio aritmético.
As atividades propostas caracterizam-se
pela busca da importância dos números
em aplicações científicas e tecnológicas.
Dessa forma, procuramos ampliar o
leque de situações, mesmo correndo o
risco de apresentar situações não
familiares ao leitor. O que poderia
constituir um obstáculo, no entanto,
pode servir como instrumento em favor
do crescimento do estudante. O fato de
ele conseguir lidar com tais situações,
apenas com seus conhecimentos
matemáticos, reforça o caráter da
matemática como linguagem
unificadora na descrição de fenômenos.
Por outro lado, cada uma das atividades
pode servir como pretexto para uma
pesquisa mais aprofundada, sob
orientação do professor e quem sabe
dentro de um projeto multidisciplinar.
Matem∙tica 76-150.pmd 114 11/7/2003, 09:22
115
Uma vez que o conteúdo do presente
texto necessita apenas das quatro
operações, pode ser utilizado com
proveito a qualquer momento do
desenvolvimento do curso. Sugere-se
sua utilização para trabalhos em grupo,
como instigador de pesquisas
multidisciplinares, em conjunto com as
áreas de Ciências e Geografia, por
exemplo. Por outro lado, as
probabilidades podem lançar uma ponte
para assuntos normalmente abordados
no Ensino Médio, propiciando
interessantes temas para pesquisas
sobre jogos de dados, baralhos e
loterias. É importante ressaltar que os
jogos comparecem, aqui, apenas como
tema de estudos, bem de acordo como
seu importante papel na história da
Matemática.
Dependendo das possibilidades da
escola e da comunidade, o professor
poderá orientar a amplificação dos
temas abordados, mediante a utilização
de livros, jornais, revistas de divulgação
científica e Internet. Mais do que isso,
pode ajudar a desenvolver o hábito de
freqüentar bibliotecas.
BIBLIOGRAFIA
BATSCHELET, E. Introdução à matemática para biocientistas. Rio de Janeiro:
Interferência, 1978. Tradução de Vera Maria Abud Pacífico da Silva e Junia Maria
Penteado de Araújo Quitete.
BELL, E. T. Historia de las matematicas. Mexico, DF: Fondo de Cultura Económica,
1995.
BOLT, B. Matemáquinas: o ponto de encontro da Matemática com a tecnologia.
Lisboa: Gradiva, 1989. Tradução de Leonor Moreira.
BURRELL, B. Guide to everyday math. Springfield: Merriam-Webster, 1998.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. 9. ed. Lisboa: S. Costa,
1989.
COLLINS, W. et al. Mathematics: applications and conections. New York: McGraw Hill,
1998.
COSTA, M. A. As idéias fundamentais da matemática e outros ensaios. 3. ed. São
Paulo: Convívio/Edusp, 1981. (Biblioteca do pensamento brasileiro. Textos, v. 4).
DANTZIG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar. 1970. Tradução
de Sergio Goes de Paula.
GIOVANNI, J. R. et al. Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo:
FTD, 1994.
KARLSON, P. A magia dos números. Porto Alegre: Globo. 1961. il. (Tapete mágico).
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 115 11/7/2003, 09:22
116
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
KLINE, M. Matematicas para los estudiantes de humanidades. Mexico, DF: Fondo de
Cultura Económica, 1998.
LARSON, R. et. al. Passport to algebra and geometry. Boston, Mass: McDougall Littel,
1999.
LIPSCHITZ, S. Teoria e problemas de probabilidade: incluindo 500 problemas
resolvidos. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1974. Tradução de Ruth Ribas Itacarali.
OSSERMAN, R. A magia dos números no universo. São Paulo: Mercuryo, 1997.
STEWART, I. Os números na natureza: a realidade irreal da imaginação matemática.
Rio de Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência atual. Mestre da Ciência). Tradução de Alexandre
Torto.

COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA,
RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM A
TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo I
Matem∙tica 76-150.pmd 79 11/7/2003, 09:21
Livro do Professor – Matemática
80
Ensino Fundamental
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
No texto “A Matemática: uma
construção humana”, procura-se fazer ,
uma aproximação do estudante com
algumas dessas questões, informando-o
sobre diferentes aspectos da
Matemática que utilizamos hoje, no
nosso dia-a-dia, e que, muitas vezes,
nem percebemos. Procura-se também
informá-lo sobre situações e problemas
cujas soluções no passado permitiram
ao homem adquirir novos
conhecimentos e chegar ao
desenvolvimento científico e
tecnológico atual.
Discutir com o estudante essa dimensão
da Matemática, mais especificamente,
significa:
• Caracterizar esse conhecimento como
uma construção humana decorrente
da interação do homem com a
natureza, da observação de
regularidades oferecidas por vários
fenômenos naturais (o movimento dos
astros, da terra, as fases da lua) e de
padrões
(o fato de termos dez dedos das mãos,
a presença de duas asas nos pássaros
etc.).
• Recuperar alguns registros
matemáticos históricos (números,
diferentes desenhos, figuras e motivos
geométricos etc.), procurando traduzir
o seu significado.
• Apresentar alguns dos problemas
enfrentados pelo homem e cujo
processo de resolução levou-o a
construir conhecimento matemático
(noções como número, medida etc.).
• Apresentar diferentes contextos em
que a Matemática está presente (na
escola, nos jornais, nas profissões etc.)
• Caracterizar, de modo rápido e
compreensível, que a Matemática é
constituída de diferentes campos
(Aritmética, Geometria, Estatística,
Probabilidades etc.)
• Traduzir e apresentar essas idéias em
situações-problema e contextos cuja
análise e esforço de resolução
possibilitem o desenvolvimento das
seguintes habilidades:
. identificar e interpretar diferentes .
registros matemáticos utilizados
pelo homem ao longo do tempo;
. reconhecer a contribuição da .
Matemática na compreensão e
análise de fenômenos naturais e da
produção tecnológica no decorrer da
história;
. identificar a Matemática como .
recurso utilizado pelo homem para
enfrentar problemas;
. identificar a Matemática como meio .
para a construção de argumentos;
. reconhecer a importância da .
Matemática na elaboração de
propostas para a intervenção
solidária na realidade.
O texto constitui-se como uma
orientação de estudos e, como tal,
contém informações e problematizações
que evidenciam a presença da
Matemática em fenômenos e situações
interpretados pelos estudantes. Tal
orientação tem o propósito de auxiliar o
Matem∙tica 76-150.pmd 80 11/7/2003, 09:21
81
estudante a recuperar, organizar e
aplicar noções matemáticas já
adquiridas. A abordagem dos conceitos
matemáticos e a aplicação dos mesmos
pelo estudante são guiadas pelo
conjunto das habilidades pretendidas,
definidas no âmbito global do projeto,
que prevê a abordagem das dimensões
histórica, social e cultural da
Matemática e sua relação com o
conhecimento científico e tecnológico.
Pretende-se que as situações-problema
e as atividades apresentadas cativem o
interesse do aluno para estudar e
aprender mais Matemática, para se
sentir sujeito do seu próprio
conhecimento ao realizar pesquisas e
relacionar idéias que lhe permitam
compreender certos fenômenos,
resolver problemas e tirar conclusões.
A abordagem das noções matemáticas
no texto leva em conta, portanto, que a
eficiência dessa orientação depende de
quanto o estudante for motivado para
seguir a leitura e se envolver nas
atividades propostas, já que ele mesmo
conduzirá grande parte desse processo.
Neste caso, o professor tem o
inestimável papel de somar esforços ao
trabalho pretendido com o texto,
criando, potencializando e
desencadeando o interesse e a
capacidade desse estudante para o
estudo da Matemática.
Como se pretende que o estudante
desenvolva competências matemáticas
e se qualifique como estudante do
Ensino Fundamental, participando de
avaliações com bom aproveitamento em
Matemática, as atividades são de dois
tipos. Há aquelas que promovem a
busca e aproximação de conhecimentos
matemáticos, mediante a realização de
pesquisas, a observação e interpretação
de situações e fenômenos. Há também
questões objetivas, algumas em forma
de testes de múltipla escolha, que
requerem do aluno certa agilidade e o
manejo de conhecimentos matemáticos
em contextos bem particulares.
O estudante será solicitado, em cada
situação-problema, a ler um texto e
interpretá-lo, a observar e analisar uma
figura, colher informações e registrar
suas idéias e soluções.
Devido à natureza deste trabalho,
grande parte das atividades e exercícios
do texto são, posteriormente,
comentados, indicando-se informações
adicionais e elementos que sirvam de
referência para o estudante validar suas
conclusões e respostas. Aqueles itens
que demandam uma resposta objetiva
são contemplados com os resultados ao
final do texto.
É necessário que o estudante, a partir do
estudo do texto e do incentivo do
professor, compreenda a relação direta
que existe entre sua participação e
envolvimento nas atividades e o seu
aproveitamento.
O texto contém, ainda, uma bibliografia
que serviu de apoio à sua elaboração e
cujos textos principais estão aqui
relacionados por se constituírem de
material de suporte ao trabalho do
professor. Alguns dos títulos, a critério
do professor, poderão ser utilizados nos
estudos que o estudante fará a partir do
texto. Porém, as fontes para pesquisas
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 81 11/7/2003, 09:21
Livro do Professor – Matemática
82
Ensino Fundamental
dos estudantes dependem daquilo a que
cada um tem acesso. Nesse sentido,
dada a proximidade com o estudante, o
BIBLIOGRAFIA
ALSINA, C. et al. Invitación a la didactica de la geometria. Madrid: Sintesis, 1995.
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1998. Tradução de
Elza F. Gomide.
CERQUETTI; ABERKANE, F.; BERDONNEAU, C. O ensino de matemática na educação
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DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: F. Alves,
1985.Tradução de João Bosco Pitombeira.
Folha de S. Paulo, 500 receitas. São Paulo: Revista folha, dez. 1994.
IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção. 2. ed. Rio de Janeiro: Globo,
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KOESTLER, A. Os sonâmbulos: história das concepções do homem sobre o universo.
Tradução de Alberto Denis. São Paulo: IBRASA, 1961. (Biblioteca História; v.7).
LOPES, A. J. Matemática hoje é feita assim: 6a
série. São Paulo: FTD, 2000.
STEWART, I. Os números da natureza: a realidade irreal da imaginação matemática. Rio de
Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência Atual e Mestres da Ciência). Tradução de Alexandre Torres.
SOLOMON, C. Matemática. 2. ed. São Paulo: Melhoramentos, 1977. (Prisma, v. 22).
Tradução de Maria Pia Brito de Macedo Charlier e Rene François Joseph Charlier.
TOLEDO, M. Didática de matemática: como dois e dois: a construção da matemática.
São Paulo: FTD, 1997. (Conteúdo e metodologia).
professor pode contribuir apresentando
sugestões de livros, materiais e fontes
acessíveis a ele.
Matem∙tica 76-150.pmd 82 11/7/2003, 09:21
83
A arte de
raciocinar
Célia Maria Carolino Pires
Na Educação de Jovens e Adultos, como
nas demais modalidades de ensino, a
atividade matemática deve estar
orientada para integrar, de forma
equilibrada, seu papel formativo de
desenvolvimento de capacidades
intelectuais para a estruturação do
pensamento e seu papel funcional de
aplicação na vida prática e de resolução
de problemas nas diferentes áreas de
conhecimento.
Neste texto, além da aplicabilidade dos
conhecimentos matemáticos, o papel
formativo merece destaque, na medida
em que se pretende que o aluno perceba
que pode usar diferentes procedimentos
de raciocínio, na solução de um
problema matemático. A intenção é a de
estimular o aluno a observar
regularidades, a elaborar conjecturas e
validá-las e a formular argumentos para
defender seus pontos de vista.
Pretende-se que ele observe que o
exercício da indução e da dedução são
importantes no desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas, de
formular e testar hipóteses, de
generalizar e de inferir dentro de
determinada lógica.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
Assim sendo, podemos sintetizar a
finalidade deste texto como sendo a de
estimular o aluno a ampliar formas de
raciocínio e processos mentais por meio
de intuição, dedução, analogia e
estimativa, utilizando conceitos e
procedimentos matemáticos. Essa
competência materializa-se em diferentes
habilidades:
• Identificar e interpretar conceitos e
procedimentos matemáticos expressos
em diferentes formas.
• Utilizar conceitos e procedimentos
matemáticos para explicar fenômenos
ou fatos do cotidiano.
• Utilizar conceitos e procedimentos
matemáticos para construir formas de
raciocínio que permitam aplicar
estratégias para a resolução de
problemas.
AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR
MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,
UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo II
Matem∙tica 76-150.pmd 83 11/7/2003, 09:21
84
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Utilizar conceitos e procedimentos
matemáticos para identificar a
consistência de uma argumentação.
• Reconhecer a adequação da proposta
de ação solidária, utilizando conceitos
e procedimentos matemáticos.
No capítulo, os conteúdos conceituais e
procedimentais têm papel ilustrativo de
conteúdos de natureza atitudinal. O que
se pretende é mostrar situações em que
o que está em jogo é a capacidade de
investigar, de perseverar na busca de
soluções e, principalmente, de valorizar
o uso de estratégias de verificação e
controle de resultados.
Analisando diferentes estratégias para
resolver uma situação-problema e
reconhecendo que existem diversas
formas de resolução que podem ser
empregadas, o aluno poderá ir
modificando suas representações sobre
a atividade matemática e sobre o papel
dos conteúdos. À medida que o aluno é
capaz de dizer se uma regra matemática
se aplica em diversos exemplos e
contra-exemplos, ele se mostra capaz
de utilizar conceitos como instrumentos
de ação, mesmo que ainda não possa
formulá-los.
A resolução de problemas é a estratégia
metodológica privilegiada; desse modo, as
soluções das situações apresentadas não
estão disponíveis de início, mas podem ser
construídas pelo aluno, ao colocar em ação
habilidades de análise e interpretação das
situações e ao buscar estratégias de
solução, usando diferentes formas de
raciocínio.
As situações de aprendizagem estão
centradas na construção de significados, na
elaboração de estratégias e na resolução de
problemas, em que o aluno possa
desenvolver processos importantes como
intuição, analogia, indução e dedução, e
não atividades voltadas para a
memorização, desprovidas de
compreensão ou de um trabalho que
privilegie a formalização de conceitos, sem
significados.
As atividades propostas caracterizam-se
pela problematização de situações em
que o aluno precisa identificar e
interpretar alguns conceitos e
procedimentos matemáticos,
relacionados a fatos do cotidiano e
também a fenômenos da natureza, das
ciências humanas e das ciências sociais.
Elas fazem referência a alguns aspectos
históricos do conhecimento
matemático, buscando elucidar
estratégias usadas para a resolução de
problemas. Destacam ainda alguns
aspectos da lógica matemática, como as
falácias, as implicações que podem ser
utilizadas pelos alunos para identificar a
consistência de uma argumentação e a
adequação de propostas de ação
solidária, usando ferramentas
matemáticas.
Partimos do princípio de que o
pensamento matemático de um aluno
avança quando ele é estimulado a utilizar
seus conhecimentos prévios para
resolver outros problemas, o que exige
transferências, retificações, rupturas,
novas informações que possibilitam a
constituição de “novos” conhecimentos.
Para tanto, é fundamental que o aluno
seja estimulado a ler textos, a
interpretar significados, a pensar de
forma criativa.
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85
Assim sendo, ao utilizar este texto, esse
processo de lançar mão de
conhecimentos prévios e ampliá-los
deve nortear os estudos tanto em
situações de trabalho individual, como
em grupo, de modo que o aluno possa
desenvolver o raciocínio, perceber
formas indutivas ou dedutivas de
organização do pensamento, estabelecer
analogias, argumentar, ampliando,
assim, significativamente, sua
capacidade para abstrair elementos
comuns a várias situações, fazer
conjecturas, generalizações e deduções
simples.
É fundamental ainda que o trabalho não
se limite aos textos e às propostas de
atividades apresentadas, mas que este
texto seja um roteiro de estudo, a ser
ampliado pela consulta de outras fontes
bibliográficas.
É interessante que o aluno vá registrando
possíveis dúvidas em relação às
atividades comentadas e também aos
exercícios propostos em que são
fornecidas as respostas. O processo de
auto-avaliação deve ser orientador de
quais conceitos ou procedimentos
precisam ser melhor trabalhados com
ajuda do professor.
BIBLIOGRAFIA
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Brasília, DF: MEC: SEF. Texto apresentado na: JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO
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V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 85 11/7/2003, 09:21
86
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
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SCHOENFELD, A. H. Mathematical problem solving. New a York: Academic Press,
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Matem∙tica 76-150.pmd 86 11/7/2003, 09:21
87
Os números: seus usos e
seus significados
Wanda Silva Rodrigues
Construir significados e ampliar os já
existentes para os números naturais,
inteiros e racionais, a partir de seus usos
e significados e também relacionandoos ao seu desenvolvimento histórico, é
uma das competências mais importante
a ser desenvolvida no Ensino
Fundamental.
A importância desse tema é bastante
reconhecida por professores e alunos,
pelo seu uso no cotidiano das pessoas.
Os números estão presentes nas notícias
veiculadas em jornais e revistas, em
textos científicos, históricos,
geográficos, nas compras e vendas, nas
expressões de medidas, nas estatísticas.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O propósito deste texto é, portanto,
possibilitar ao leitor construir, ampliar
e/ou reconstruir significados para os
números naturais, inteiros e racionais,
por meio de sua inserção em contextos
significativos de modo a desenvolver as
seguintes habilidades:
• Identificar, interpretar e representar os
números naturais, inteiros e racionais.
• Construir e aplicar conceitos de
números naturais, inteiros e racionais,
para explicar fenômenos de qualquer
natureza.
• Interpretar informações e operar com
números naturais, inteiros e racionais,
para tomar decisões e enfrentar
situações-problema.
• Utilizar os números naturais, inteiros e
racionais, na construção de
argumentos sobre afirmações
quantitativas de qualquer natureza.
• Recorrer à compreensão numérica
para avaliar propostas de intervenção
frente a problemas da realidade.
Os números naturais são explorados nas
diferentes situações em que aparecem
com a finalidade de representar os
resultados de contagens ou de
ordenações, e também para codificar. É
importante que o aluno tenha
oportunidade de realizar a leitura e
escrita de números “grandes” e
CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA
OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAIS.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo III
Matem∙tica 76-150.pmd 87 11/7/2003, 09:21
88
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
desenvolver uma compreensão mais
consistente das regras que caracterizam
o sistema de numeração que utiliza.
Já os números inteiros negativos são
explorados pela análise de situações em
que representam diferença, “falta”,
apoiando-se em idéias intuitivas que os
alunos já têm sobre esses números por
vivenciarem situações de perdas e
ganhos num jogo, débitos e créditos
bancários ou outras situações. O estudo
dos números racionais, nas suas
representações fracionária e decimal,
partem da exploração de alguns de seus
significados, tais como: a relação
parte/todo, quociente, razão.
Ao longo do texto, a resolução de
situações – problema com números
naturais, racionais e inteiros permite a
ampliação do sentido operacional, que se
desenvolve simultaneamente à
compreensão dos significados dos
números.
Em algumas atividades explora-se a
compreensão de regras do cálculo com
naturais, inteiros e racionais pela
observação de regularidades.
A resolução de problemas é a estratégia
metodológica privilegiada. Essa opção
traz implícita a convicção de que o
conhecimento matemático ganha
significado quando, diante de situações
desafiadoras, são desenvolvidas
estratégias de resolução possibilitando a
mobilização de conhecimentos e o
desenvolvimento da capacidade para
generalizar informações e argumentar
sobre elas.
É na argumentação dos problemas do
dia-a-dia que as idéias e os pontos de
vista expressos, cada vez com mais
clareza, permitem ao leitor fazer
interpretações de significados,
conjecturas, generalizações e deduções
simples. Com isso, desenvolvem-se o
pensamento indutivo e o dedutivo. Essa
conexão com a realidade torna possível
a leitura e a interpretação dos números
em textos jornalísticos, científicos,
histórico-geográficos, e em gráficos e
tabelas, possibilitando tomadas de
decisão e uma intervenção frente a
problemas da realidade.
Parte significativa das atividades
propostas envolve a leitura e
interpretação de textos adaptados de
jornais e revistas em que os dados
numéricos desempenham importante
papel.
Os textos foram selecionados de modo a
explicitar a relação dos conhecimentos
matemáticos com temas de interesse
social, ligados às questões ambientais, ao
trabalho e ao consumo, ao
desenvolvimento tecnológico, entre
outros.
Outras atividades têm como finalidade
chamar a atenção sobre os aspectos
matemáticos que envolvem os estudos
dos números, tão importantes quanto os
que tratam de seus usos e significados
sociais. Dentre essas atividades,
destacam-se as que estimulam o aluno a
perceber regularidades, a estabelecer
semelhanças e diferenças entre escritas
numéricas, a analisar definições.
É fundamental que o estudo não se
limite aos textos e propostas de
atividades apresentadas, mas que este
capítulo seja um roteiro de estudo, a ser
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89
ampliado pela consulta de outras fontes
bibliográficas. As atividades
apresentadas em forma de teste, com
respostas ao final, são uma
oportunidade para que o aluno confira
suas respostas e retome, se for o caso,
pontos que ainda não foram claramente
compreendidos.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: matemática: séries iniciais. Brasília, DF, 1997.
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IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos
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LERNER DE ZUNINO, D. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Tradução de Juan
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RODRIGUES, W. S. Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente
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2001.
VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. Lisboa: Antídoto, 1979. Tradução de M.
Resende.
V – Orientação para o trabalho do professor
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90
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
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91
Geometria – leitura e
representação da realidade
Norma Kerches de Oliveira Rogeri
O pensamento geométrico é um recurso
extremamente importante para
resolução de muitos problemas da nossa
vida cotidiana. Muitas vezes, no
entanto, nos deparamos com
dificuldades na busca da solução desses
problemas por “ausência” de habilidades
geométricas que podem ser
desenvolvidas a partir de situações onde
a percepção, representação, construção
e concepção estão presentes.
O professor, ao trabalhar com a
geometria, precisa estruturar o trabalho
de tal forma que possibilite ao aluno
desenvolver um tipo especial de
pensamento que lhe permita
compreender, descrever e representar, de
forma organizada, o mundo em que vive.
No capítulo, as atividades valorizam a
percepção espacial para que o aluno
possa estabelecer conexões entre a
Matemática e as outras áreas do
conhecimento, na busca de argumentos
lógicos e de procedimentos de
generalização.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
A finalidade deste texto é possibilitar ao
aluno a utilização do conhecimento
geométrico para realizar a leitura e a
representação da realidade e agir sobre
ela. Para isso, o aluno será estimulado a
construir conceitos geométricos e a
utilizá-los por meio de atividades que
possibilitem os desenvolvimentos das
habilidades:
• Identificar e interpretar fenômenos de
qualquer natureza expressos em
linguagem geométrica.
• Construir e identificar conceitos
geométricos no contexto da atividade
cotidiana.
• Interpretar informações e aplicar
estratégicas geométricas na solução
de problemas do cotidiano.
• Utilizar conceitos geométricos na
seleção de argumentos propostos como
solução de problemas do cotidiano.
• Recorrer a conceitos geométricos para
avaliar propostas de intervenção sobre
problemas do cotidiano.
UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO
PARA REALIZAR A LEITURA E A REPRESENTAÇÃO
DA REALIDADE E AGIR SOBRE ELA.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo IV
Matem∙tica 76-150.pmd 91 11/7/2003, 09:21
92
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
As idéias e conceitos geométricos são
abordados neste texto, principalmente,
através de situações do cotidiano onde
aparecem como um poderoso recurso
para solucionar as questões propostas.
Além disso, a geometria será associada
não apenas a essas dimensões práticas,
mas, também, em suas relações com a
Arte e a Arquitetura, ou seja, em suas
relações com a estética e a harmonia.
A resolução de problemas é a estratégia
metodológica privilegiada, pois
possibilita ao aluno a análise e a
interpretação de situações e,
principalmente, a aplicação das idéias e
conceitos geométricos na busca de
soluções dessas situações.
As atividades propostas caracterizam-se
pela problematização de situações em
que o aluno precisa identificar e
interpretar conceitos e procedimentos
geométricos, usando a percepção
espacial para compreender e representar
os fenômenos da natureza, gerando,
com isso, possibilidades de intervenção
na realidade e na busca de melhor
qualidade de vida.
Além disso, algumas situações
propostas sugerem o uso de conceitos
geométricos como ferramentas para
resolver problemas de grandezas e
medidas, possibilitando a articulação
entre os eixos temáticos da matemática.
Neste texto, as atividades foram
estruturadas de tal forma que
possibilitem ao aluno perceber,
representar, construir e conceber idéias
e formas geométricas e, assim,
desenvolver habilidades de
visualização, percepção espacial,
análise, criatividade, principalmente,
para resolver problemas geométricos da
sua vida cotidiana. No entanto, a
aprendizagem não decorre das
atividades propostas ao aluno, mas sim,
das relações que ele estabelece a nível
de pensamento entre significados e
conceitos. Assim, o texto deve
representar uma estratégia que
possibilite e promova a reflexão do
aluno sobre aspectos importantes de
determinados conceitos que estão sendo
desenvolvidos e não se limite, apenas,
aos textos e às propostas de atividades.
Ele deve ser um fio condutor do
trabalho, a ser ampliado também pela
consulta de outras fontes bibliográficas.
É importante que o aluno registre
dúvidas e questionamentos em relação
às atividades do texto e que possa, com
isso, ter orientação do professor para
garantir sua aprendizagem.
Matem∙tica 76-150.pmd 92 11/7/2003, 09:21
93
BIBLIOGRAFIA
BOYER, C.B. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 1974. Tradução de Elza F.
Gomide.
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Pedagógicas. Experiências matemáticas de 5ª a 8ª série. Colaboração de Célia Maria
Carolino Pires et al. São Paulo, 1996. (CENP, v. 446).
V – Orientação para o trabalho do professor
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95
As medidas e a compreensão
da realidade
Dulce Satiko Onaga
Para aprender Matemática com
significado, é importante desenvolver
competências que permitam estabelecer
conexões entre estes temas e as demais
áreas do conhecimento e entre estes
temas e as situações do cotidiano.
Muitos dos fatos com os quais
convivemos ou podemos observar no
dia-a-dia envolvem medidas e
grandezas. Elas nos dão informações
sobre as distâncias que percorremos, o
tamanho da nossa casa, a capacidade da
nossa caixa d’água, a quantidade de
alimentos que necessitamos, o nosso
gasto com energia elétrica, a
organização do nosso tempo e outras
coisas mais.
A necessidade de medir é muito antiga.
Depois que os homens foram deixando
de ser apenas caçadores e coletores de
alimentos, foram se fixando no solo,
como agricultores. Deixaram
gradativamente a vida nômade e
tornaram-se, aos poucos, cada vez mais
sedentários.
Os egípcios antigos, por exemplo,
cultivavam as terras nas margens do rio
Nilo. Elas eram demarcadas de acordo
com cada grupo de agricultores. As
cheias do rio destruíam essas
demarcações, o que os obrigavam a
refazê-las todos os anos.
Para usar essas terras, os agricultores
pagavam impostos ao Faraó. Hoje,
pagamos IPTU (Imposto Predial e
Territorial Urbano), imposto que a
Prefeitura da maioria das grandes
cidades recolhe dos contribuintes que
possuem um imóvel ou terreno no
município.
No início, é possível que as pessoas
apenas comparassem grandezas.
Quando pensaram em construir suas
casas, fazer suas plantações, armazenar
CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo V
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96
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
seus produtos, controlar sua produção,
elas se depararam com problemas de
medidas. Para resolver aqueles que
envolviam comprimentos, criaram
unidades de medidas que, em geral,
eram provenientes do tamanho das
partes do corpo do governante de cada
país. Como elas não eram comuns a
todos, foram surgindo dificuldades,
principalmente nas trocas comerciais.
Começou-se então, a busca por uma
padronização de unidades, o que
caracterizou melhor o desenvolvimento
da noção de medir.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
A finalidade do capítulo é auxiliar o
leitor no desenvolvimento da
competência de construir e ampliar
noções de grandezas e medidas para a
compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
Esta competência é traduzida por meio
das seguintes habilidades:
• Identificar e interpretar registros
utilizando a notação convencional de
medidas.
• Estabelecer relações adequadas entre
diversos sistemas de medidas e a
representação de fenômenos naturais
e do cotidiano.
• Selecionar, compatibilizar e operar
informações métricas de diferentes
sistemas ou unidades de medidas na
resolução de problemas do cotidiano.
• Selecionar e relacionar informações
referentes a estimativas ou outras
formas de mensuração de fenômenos
de natureza qualquer com a
construção de argumentação que
possibilite sua compreensão.
• Reconhecer propostas adequadas de
ação sobre a realidade, utilizando
medidas e estimativas.
No capítulo, as atividades com medidas
são desenvolvidas estabelecendo
relações com os conceitos geométricos
e numéricos, com proporcionalidade e
as representações gráficas, pretendendo,
assim, vincular Medidas com Números,
Geometria e Tratamento da Informação,
de modo que o trabalho com esses
quatro temas se dê simultaneamente.
Os temas abordam situações do
cotidiano em que são propostos
problemas que propiciem a reflexão, a
discussão e a resolução dos mesmos, de
forma a constituir o ponto de partida
para a construção dos conceitos.
No primeiro momento, os alunos são
convidados a opinarem sobre a situação
proposta. O professor, se preferir, poderá
pedir pedir-lhes que leiam os textos com
antecedência, ou que façam uma leitura
silenciosa em classe, e depois promover
uma discussão, encerrando com uma
primeira síntese do tema tratado.
Acreditamos que melhorar a capacidade
de ler, interpretar e resolver problemas
faz parte da construção do
conhecimento matemático. Além disso,
explorar assuntos do interesse dos
alunos despertará sua curiosidade,
envolvendo-os numa busca de novos
conhecimentos e enriquecendo aqueles
que já possuem.
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97
As atividades procuram explicitar as
diferenças da natureza entre medidas de
comprimento, massa, capacidade,
tempo, área, volume e energia elétrica e
pretendem que os alunos justifiquem a
necessidade da unidade padrão. É
importante observar que a necessidade
de trabalhar com as unidades
convencionais está relacionada com um
problema de comunicação. Para efetuar
uma medição escolhemos uma unidade
de medida de mesma natureza da
grandeza que queremos medir.
Apresentando as unidades padrão para
essas grandezas, são propostas situações
que possibilitam aos alunos
estabelecerem relações entre unidades
de medidas e utilizarem múltiplos e
submúltiplos das unidades
fundamentais, com ênfase apenas nas
unidades mais comuns no dia-a-dia. Ao
construírem as unidades legais espera-se
que eles percebam que certos
comprimentos, ou outros tipos de
medidas, não são mensuráveis com
apenas uma determinada unidade e que
a partir desta pode-se criar outras
unidades. Assim, eles começam a
adequar as unidades de medida às
grandezas que se deseja medir, e a
descobrir a equivalência entre as
unidades criadas em um mesmo sistema
de medida.
As habilidades para o uso e a leitura de
instrumentos apropriados para medir
diversas grandezas vão se refinando
gradativamente.
A avaliação precisa ser contínua,
dinâmica e, com freqüência, informal,
V – Orientação para o trabalho do professor
para que por meio de uma série de
observações sistemáticas, o professor
possa emitir um juízo valorativo sobre a
evolução dos alunos e tomar as atitudes
necessárias.
O procedimento de registro pode ser
simples, exigindo pouco tempo para
anotá-lo e levando em conta:
• as respostas dos estudantes, quando
eles manifestam de forma implícita ou
explícita suas certezas, dúvidas e
erros;
• as observações das ações e discussões
efetuadas durante as tarefas
individuais, em grupos pequenos ou
com a classe toda;
• análise de provas, tarefas feitas em
casa, diários e trabalhos escritos.
Outras sugestões que poderão auxiliar o
professor:
• Sugerir uma leitura complementada
com pesquisas e discussão em sala de
aula ou exposição dos resultados das
pesquisas realizadas.
• Organizar palestras, sessões de vídeos,
visita a exposições e museus.
• Promover um trabalho integrado com
outras áreas: Ciências, Geografia,
Educação Artística, explorando
notícias locais, e também, matérias de
jornais e revistas.
• Utilizar a História da Matemáticas
pois ela poderá despertar o interesse
dos alunos. Incentivá-los a
pesquisarem outras unidades de
medida que foram usadas ao longo da
História da humanidade.
Matem∙tica 76-150.pmd 97 11/7/2003, 09:21
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Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
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• Propiciar outras atividades de
medição, utilizando unidades não
padronizadas, nas quais os alunos
poderão perceber medidas diferentes,
decorrentes da diferença entre as
unidades utilizadas.
• Explorar outros instrumentos
utilizados na medição de
comprimento, massa, capacidade e
fazendo-os perceber a adequação de
cada um às situações de medição.
Matem∙tica 76-150.pmd 98 11/7/2003, 09:21
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101
Proporcionalidade:
uma idéia fundamental
Ruy César Pietropaolo
A aprendizagem de noções, conceitos e
procedimentos matemáticos é
fundamental para a formação do cidadão,
pois permite a aquisição de ferramentas
básicas para que ele possa resolver
situações da vida diária, compreender
melhor o próprio ambiente, comunicar
idéias e mesmo entender assuntos das
diversas áreas do conhecimento. Mas,
para isso, esse processo não pode limitarse a uma simples memorização de regras
e técnicas e nem ao conhecimento formal
de definições.
Entre as diversas noções matemáticas
que devem ser desenvolvidas pelos
jovens e adultos, destaca-se a de
proporcionalidade, o tema central deste
texto. Essa noção é fundamental, pois
está presente no dia-a-dia das pessoas
em diversas situações, tais como a
interpretação de um mapa ou da planta
de um edifício, a ampliação de uma foto,
a receita de uma torta, a leitura de um
gráfico em jornais, estimativas de preços
etc.
Além disso, a noção de
proporcionalidade é necessária para
estudar diversos temas da Matemática e
de outras áreas do conhecimento, como
Física, Biologia, Psicologia, Geografia
etc.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O capítulo está voltado para o
desenvolvimento da competência de
construir e ampliar noções de variação
de grandezas direta e inversamente
proporcionais para a compreensão da
realidade e a solução dos problemas do
cotidiano. Mas, para isto, é fundamental
que os jovens e adultos desenvolvam
um conjunto de habilidades que
expressem essa competência. São elas:
• Identificar grandezas direta e
inversamente proporcionais e
interpretar a notação usual de
porcentagem.
• Identificar e avaliar variação de
grandezas para explicar fenômenos
naturais, processos socioeconômicos e
da produção tecnológica.
• Resolver problemas envolvendo
grandezas direta e inversamente
proporcionais e porcentagens.
CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo VI
Matem∙tica 76-150.pmd 101 11/7/2003, 09:21
102
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Identificar e interpretar variações
percentuais de variável
socioeconômica ou técnico-científica
como importante recurso para a
construção de argumentação
convincente.
• Recorrer a cálculos com porcentagens
e relações entre grandezas
proporcionais para avaliar a adequação
de propostas de intervenção na
realidade.
Assim, procurou-se sugerir ao aluno
que, mediante uma situação-problema
envolvendo variação de grandezas, faça
as seguintes perguntas:
• Uma grandeza depende da outra?
• Se sim, como se dá essa dependência?
• Por que é importante saber como elas
se relacionam?
• É importante identificar o tipo de
variação?
• No que isso pode me ajudar a resolver
o problema?
Para isso, foram propostas situações em
que há proporcionalidade direta ou
inversa entre grandezas, além de
situações em que não há
proporcionalidade.
Há um significativo consenso entre os
educadores de que a utilização da
situação-problema como ponto de
partida da atividade matemática é uma
forma de possibilitar o desenvolvimento
de capacidades fundamentais, como
observação, estabelecimento de
relações, comunicação, argumentação e
validação de processos. A resolução de
problemas possibilita, assim, o
desenvolvimento de formas do
raciocínio como intuição, indução,
dedução e estimativa.
Desse modo, a abordagem
metodológica deste texto é a resolução
de problemas em contextos diversos,
como aqueles do cotidiano, e de outras
áreas do conhecimento, como física e
economia.
A elaboração deste texto levou em
conta que, para o desenvolvimento da
noção de proporcionalidade, é
fundamental a exploração de situações
de aprendizagem que levem o estudante
a observar a variação entre grandezas,
estabelecer relação entre elas e construir
estratégias de solução para resolver
situações que envolvam esta importante
noção.
No texto, é apresentada, de início, uma
situação cujas grandezas envolvidas não
variam proporcionalmente. O aluno, por
meio de seus conhecimentos prévios,
poderá responder à questão proposta.
Em seguida, é apresentada outra
situação, mas envolvendo grandezas
diretamente proporcionais. Depois, é
feita uma breve sistematização do que
foi discutido nessas duas situações:
grandezas diretamente proporcionais e
grandezas não proporcionais.
Ainda na primeira parte, o aluno
aprenderá a identificar grandezas
inversamente proporcionais e calcular
porcentagens por meio da
proporcionalidade. Ou seja,
conhecendo-se quanto é 10% de um
valor, ele pode calcular qualquer outra
porcentagem.
Na segunda parte do texto, procurou-se
destacar a representação gráfica de
Matem∙tica 76-150.pmd 102 11/7/2003, 09:21
103
grandezas diretamente proporcionais e a
representação de grandezas
inversamente proporcionais.
O destaque da terceira parte do texto é
para a propriedade fundamental das
proporções. Para a resolução das
diversas situações propostas,
envolvendo tanto as grandezas direta
quanto as inversamente proporcionais,
discute-se a utilização da regra de três.
Na quarta parte do texto, os jovens
terão oportunidade de analisar um
problema sobre variação de grandezas
envolvendo geometria e medidas. No
texto, discute-se que a área do
quadrado é diretamente proporcional
não ao seu lado, mas sim, ao quadrado
deste. Os estudantes são convidados a
analisar a validade de algumas
argumentações, bem como elaborar
outras.
Na última parte, os alunos deverão
utilizar as noções que foram
desenvolvidas para analisar propostas
de intervenção na realidade.
A maneira pela qual os conteúdos são
abordados neste capítulo pode
favorecer o processo de compreensão
do estudante sobre os conceitos e
procedimentos desenvolvidos e
incentivá-lo à aplicação destes em
situações de sua realidade.
Sugerimos o uso de calculadoras nas
situações em que há muitos cálculos,
para agilizar os resultados e permitir
que o aluno se dedique mais tempo às
questões relevantes da situação
proposta.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: temas transversais: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF, 1998.
______.Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: 3º e 4º ciclos. Brasília, DF,
1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática
e suas tecnologias. Brasília, DF, MEC, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino
fundamental para o segmento de jovens e adultos. Brasília, DF, 2002.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 6. ed. Lisboa: Brás
Monteiro, 1975.
CURI, E.; PIRES, C. M.C.; PIETROPAOLO, R.C. Educação matemática. São Paulo: Atual,
2002.
D’AMBROSIO, U. Globalização, educação multicultural e etnomatemática. Brasília, DF.
MEC, 1997. TEXTO APRESENTADO NA JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS, 1997.
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 103 11/7/2003, 09:21
104
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, 2000.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Experiências matemáticas. São Paulo, 1994.
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Educação Matemática em
Revista. São Paulo. v. 7-12. Revista
Matem∙tica 76-150.pmd 104 11/7/2003, 09:21
105
Neste texto, procuraremos enfatizar
diferentes funções da álgebra, para que
o aluno da Educação de Jovens e
Adultos, além de ampliar sua visão
sobre ela, possa construir um
pensamento algébrico que, juntamente,
com o pensamento aritmético e
geométrico, lhe permita resolver
problemas.
A Álgebra será apresentada com as
funções de:
• generalizar dados aritméticos: as • generalizar dados aritméticos
variáveis teriam a função de
representar a generalidade de uma
propriedade ou característica que é
sempre observada;
• representar a relação entre
grandezas: grandezas aqui, as variáveis
modificam-se com a alteração da
quantidade de grandeza;
• servir para manipulação
simbólica: simbólica: essa simbólica: função, muito
importante na Matemática, encontra,
hoje, aplicação prática em diversas
áreas, dentre elas a eletricidade e a
informática;
• resolver problemas difíceis do ponto
de vista aritmético.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O capítulo tem como finalidade estimular
o aluno a construir e utilizar conceitos
algébricos para modelar e resolver
problemas. Essa competência concretizase por meio de diferentes habilidades:
• Identificar, interpretar e utilizar a
linguagem algébrica como uma
generalização de conceitos
aritméticos.
• Caracterizar fenômenos naturais e
processos da produção tecnológica,
utilizando expressões algébricas e
equações do 1º e 2º graus.
• Utilizar expressões algébricas e
equações do 1º e 2º graus para
modelar e resolver problemas.
• Analisar o comportamento de uma
variável, utilizando ferramentas
algébricas como importante recurso
para a construção de argumentação
consistente.
A Álgebra, suas
funções e seus usos
Angélica da Fontoura Garcia Silva
CONSTRUIR E UTILIZAR CONCEITOS ALGÉBRICOS
PARA MODELAR E RESOLVER PROBLEMAS.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo VII
Matem∙tica 76-150.pmd 105 11/7/2003, 09:21
106
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Avaliar, com auxílio de ferramentas
algébricas, a adequação de propostas
de intervenção na realidade.
Os conteúdos são abordados tomando
como eixo as funções da álgebra e a sua
linguagem, até a modelização e a
solução de problemas.
Essa modelização se dará, num primeiro
momento, com a interpretação de
situações dadas, que devem ser
traduzidas por uma equação: isso levará
os alunos a compreenderem os
princípios multiplicativos e aditivos da
igualdade e do significado da raiz.
Desse modo, procurou-se não insistir
sobre aspectos puramente mecânicos e
mnemônicos da álgebra, mas sim, sobre
seus significados, a fim de que o
estudante saiba utilizá-los na resolução
de problemas.
Evidentemente, todo este trabalho
inicial deverá ser enriquecido pelo
professor, com as discussões que fará
em sua sala, de onde partirão também,
por exemplo, sugestões de outras
propriedades numéricas e geométricas
que poderão ser citadas e generalizadas.
As traduções para a linguagem algébrica
poderão ser trabalhadas utilizando-as
em situações de jogos, como o da
memória ou dominó, dentre outros.
A opção por este enfoque leva em conta
estudos recentes que mostram que
apenas a repetição mecânica de
procedimentos, prática comum até bem
pouco tempo na escola, contribuiu
muito pouco para o desenvolvimento
do pensamento algébrico do aluno.
Para que o estudante utilize
conhecimentos algébricos em suas
argumentações, apresentamos uma
situação-problema: duas opções de
preços que serão vantajosas ou não,
dependendo do número de dias durante
os quais se pretende alugar bicicletas.
Essa situação, quando tratada na sala de
aula, poderá ser complementada
também com uma solução gráfica.
Para a construção de propostas de
intervenção, decidimos tratar de uma
situação real, que é a do Imposto de
Renda, onde os valores da parcela a
deduzir existem para corrigir as
possíveis “distorções” dos impostos
devidos nos intervalos próximos aos
limites das diferentes faixas – para uma
situação em que um empregador quer
dar um aumento escalonado aos seus
funcionários.
Enfim, a proposta é levar o estudante a
observar regularidades e identificar a lei
de formação de seqüência, padrões,
observação de tabelas e propriedades
aritméticas, utilizando-se de análise de
situações-problema e comparando
possibilidades de resolução (aritméticas
e algébricas) com as respostas obtidas,
construindo argumentações e propostas
de intervenção.
Dentre as atividades propostas,
destacamos algumas situações que
podem ser introduzidas com um jogo do
mágico envolvendo a classe toda, onde
se coloca uma tabela com o número
falado pelo aluno e o respondido pelo
professor. Essa regra pode ser simples,
inicialmente, e depois chegar a outras
que possam encontrar mais que uma
Matem∙tica 76-150.pmd 106 11/7/2003, 09:21
107
tradução, como, por exemplo, y = 3x +
3 ou Y = 3 ( x+1), ou até mesmo a
tabelas que incluam números racionais
ou negativos. O mesmo pode ser feito
com a atividade da adivinhação.
Generalizamos, também, alguns padrões
geométricos e algumas seqüências
numéricas. Utilizamos a análise
geométrica da propriedade distributiva
para desenvolver o quadrado da soma.
Os fenômenos naturais e processos de
produção tecnológica foram
caracterizados por expressões
algébricas, no exemplo dos satélites e
da queda de corpos. Outros exemplos
simples, como o da densidade ou
velocidade média, poderiam ser
analisados pela turma.
Nos problemas do cotidiano,
procuramos enfocar situações que
envolvam equações e cujo principal
objetivo é fazer o estudante aplicar os
conhecimentos algébricos para resolvêlas. Aqui, as diferentes formas de
resolver os problemas poderão ser um
atrativo maior para o exercício
constante da reflexão crítica,
desenvolvendo habilidades de
raciocínio, tais como investigação,
inferência, reflexão e exploração.
Evidentemente, esta proposta deverá ser
enriquecida de modo a tornar este texto
plenamente adequado aos alunos. O
papel do professor é fundamental,
ampliando ou reduzindo as atividades.
Seu trabalho é crucial no
encaminhamento metodológico
proposto, baseado na metodologia da
resolução de problemas, cujo enfoque
recai, principalmente, sobre o processo
e o trabalho em grupo.
Quanto à questão da avaliação, na
perspectiva do trabalho aqui proposto,
ela ganha outros contornos, já que não
seria possível acontecer numa única
prova. É importante que o professor se
utilize de diferentes instrumentos de
avaliação, e que procure observar,
continuamente, o desenvolvimento do
seu aluno, nas produções escritas e nas
discussões orais. Embora não tenham o
mesmo peso que lhes era conferido
anteriormente, as avaliações individuais
devem continuar como parte do
processo geral de avaliação da
aprendizagem do aluno, só que
acrescida de uma outra fase, em que o
aluno prepara um relatório de análise
desta avaliação, garantindo um
momento de reflexão sobre o que foi
avaliado anteriormente.
BIBLIOGRAFIA
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Blücher, 1974.Tradução de
Elza F. Gomide.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais, 1997. 10 v.
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 107 11/7/2003, 09:21
108
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
CAMPOS, T. M. M. (Coord. de); PIRES, C. M. C.; CURI, E. Transformando a prática das
aulas de matemática: textos preliminares 5ª a 8ª série. São Paulo: Proem, 2001.
GUELLI, O. Contando a história da matemática: equação: o idioma da álgebra. 2. ed.
São Paulo: Ática, 1993.
IMENES, JAKUBO, LELLIS . Álgebra e equação do 2º grau. 2. ed. São Paulo: Atual,
1993. (Pra que serve a Matemática).
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino de Matemática: 1º grau. 4. ed. São
Paulo, 1992.
SOUZA, E. R. de; DINIZ, M. I. de S. V. Álgebra: das variáveis às equações e funções. 2.
ed. São Paulo: IME-USP, 1994. (Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática;
Caem, v. 5).
Matem∙tica 76-150.pmd 108 11/7/2003, 09:21
109
A Estatística e sua importância
no mundo da informação
Edda Curi
O exercício da cidadania pressupõe que
as pessoas desenvolvam sua capacidade
de aprender, tendo como meios o
domínio da leitura, da escrita e do
conhecimento matemático, de tal forma
que lhes seja permitido compreender o
mundo, o ambiente natural, cultural e
político à sua volta, as artes, a
tecnologia e os valores que
fundamentam a sociedade, para nela
atuar de forma crítica e participativa.
A Matemática pode contribuir para que
jovens e adultos tenham melhor
compreensão do mundo em que vivem,
pois, mesmo excluídos do processo
educacional, jovens e adultos precisam
compreender informações muitas vezes
contraditórias, que incluem dados
estatísticos e tomadas de decisões
diante de questões políticas e sociais
que dependam da leitura crítica e da
interpretação de índices divulgados
pelos meios de comunicação.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O capítulo está voltado para o
desenvolvimento da competência
destacando o estudo de Estatística, que
tem especial relevância no mundo de
hoje, tendo em vista que conceitos e
procedimentos estatísticos são de
importância fundamental às tomadas de
decisão diante de incertezas.
Espera-se que os jovens e adultos
desenvolvam um conjunto de
habilidades que traduzam essa
competência:
• Reconhecer e interpretar informações
de natureza científica ou social
expressas em gráficos ou tabelas.
• Identificar ou inferir aspectos
relacionados a fenômenos de natureza
científica ou social, a partir de
informações expressas em gráficos ou
tabelas.
• Selecionar e interpretar informações
expressas em gráficos ou tabelas para
INTERPRETAR INFORMAÇÕES DE NATUREZA CIENTÍFICA E
SOCIAL OBTIDAS DA LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS,
REALIZANDO PREVISÃO DE TENDÊNCIA, EXTRAPOLAÇÃO,
INTERPOLAÇÃO E INTERPRETAÇÃO.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo VIII
Matem∙tica 76-150.pmd 109 11/7/2003, 09:21
110
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
a resolução de problemas: analisar o
comportamento de variável expressa
em gráficos ou tabelas, como
importante recurso para a construção
de argumentação consistente.
• Avaliar, com auxílio de dados
apresentados em gráficos ou tabelas, a
adequação de propostas de
intervenção na realidade.
Em todo o capítulo, foram utilizados
textos de jornais e revistas, pois são
recursos didáticos ricos em informações,
com uma organização que utiliza
diferentes representações: tipos de letras,
fotos, tabelas, gráficos etc. Eles foram
utilizados não apenas para a leitura e
interpretação de gráficos e tabelas, mas
para a leitura e análise de textos.
Como acontece com outras
aprendizagens, a aquisição de novos
conhecimentos deve considerar os
conhecimentos prévios dos alunos. No
caso deste capítulo, foram considerados
conceitos decorrentes das vivências dos
jovens e adultos, de suas interações
sociais e de sua experiência pessoal, pois
os adultos têm conhecimentos bastante
diversificados que enriquecem a
aprendizagem.
O capítulo privilegiou o enfoque de
resolução de problemas na abordagem
dos conteúdos. O trabalho com a
metodologia de resolução de problemas
favorece o aprendizado, pois engloba a
exploração do contexto da situação; a
possibilidade de desenvolver atitudes de
perseverança, nos jovens e adultos, em
busca de resultados; a capacidade de
comunicar-se matematicamente e de
utilizar processos de pensamento
abstrato.
É importante destacar que a resolução de
problemas vem se tornando um recurso
indispensável no processo de ensino e
aprendizagem. O problema é o ponto de
partida para a atividade matemática, é
uma situação que demanda a realização
de uma seqüência de ações para se obter
um resultado, ou seja, a solução não está
disponível, mas é possível construí-la.
Outra preocupação foi a de dar
significado à atividade matemática,
estabelecendo conexões entre os
diferentes temas matemáticos e,
também, entre esses temas e as demais
áreas do conhecimento e as situações
do cotidiano. O estabelecimento de
relações é fundamental para que o
estudante compreenda, efetivamente, os
conteúdos matemáticos. Abordados de
forma isolada, eles não se tornam uma
ferramenta eficaz para resolver
problemas e para a aprendizagem ou
construção de novos conceitos.
Na primeira parte do capítulo, discutese a necessidade de se estudarem
algumas noções de Estatística.
Na segunda parte, os jovens têm a
oportunidade de ler dados (apresentados
em diferentes tipos de gráficos e de
tabelas simples) e de reconhecer
informações. Além dos problemas
discutidos no texto, têm a oportunidade
de resolver mais cinco problemas e de
escrever um pequeno texto, no qual
descrevem suas observações em relação
a alguns gráficos estudados.
Na terceira parte, os jovens têm a
oportunidade de interpretar dados
apresentados em tabelas de dupla
Matem∙tica 76-150.pmd 110 11/7/2003, 09:21
111
entrada e em diferentes tipos de
gráficos, além de fazer inferências, a
partir da interpretação de dados, como
no caso do gráfico que apresenta a
média de filhos por mulher, nos
últimos anos. Além dos problemas
resolvidos no texto, os jovens têm a
oportunidade de resolver mais oito
atividades. Nessa parte do texto, há
indicações para que o jovem aprofunde
seus conhecimentos sobre construções
de gráficos.
Na quarta parte do texto, os jovens têm
a oportunidade de resolver problemas
para os quais precisam interpretar os
dados apresentados em tabelas ou
gráficos. Além dos problemas resolvidos
no corpo do texto, têm a oportunidade
de resolver mais sete problemas para
aprofundamento e de escrever um
pequeno texto a respeito da distribuição
de renda no país.
Na quinta parte do texto, os jovens têm
a oportunidade de utilizar os dados
apresentados em gráficos e tabelas
como recurso de argumentação.
Também nessa parte, além das
atividades discutidas no texto, há mais
quatro situações nas quais os jovens
podem exercitar sua argumentação.
Na última parte, a Estatística é usada
para analisar intervenções na realidade.
Os jovens são convidados a analisar
indicadores sociais no Brasil e em
alguns países da América Latina,
analisando a intervenção de uma ONG.
Depois têm a oportunidade de propor
uma intervenção, partindo da análise do
indicador escolhido.
As atividades propostas podem ser
desenvolvidas com os alunos
organizados em pequenos grupos, pois
o trabalho em grupos gera um ambiente
que se caracteriza pela proposição,
investigação e exploração de diferentes
idéias por parte dos alunos, bem como
pela interação entre eles, pela
socialização de procedimentos
encontrados para solucionar uma
questão e pela troca de informações.
As reportagens propostas foram
utilizadas com a finalidade de
desenvolver a leitura e análise de
textos. Considerando-se que jovens e
adultos com pouca escolarização nem
sempre lêem com autonomia, a
estratégia que pode ser utilizada é a de
discutir previamente o tema, o título do
texto, o significado de algumas palavras
com que eles possam ter menos
familiaridade.
Além das atividades propostas, é
possível desenvolver outras noções de
Estatística, como amostra, população,
média aritmética, moda e mediana. O
trabalho com gráficos pode ser
aprofundado, com uma discussão de
situações onde possam ser usados os
diferentes tipos de gráfico. Outro
trabalho que pode ser realizado é o de
aprofundamento na construção dos tipos
de gráficos mais comuns. A construção
dos gráficos permite o trabalho com
algumas idéias matemáticas, como
porcentagem e escala. A construção do
gráfico de setores permite o trabalho
com medidas de ângulos, raio e diâmetro
de uma circunferência e alguns
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 111 11/7/2003, 09:21
112
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
BIBLIOGRAFIA
LOPES, P. A. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: Reichman & Affonso, 1999.
BERENSON, M. L.; Elevine, D. M. Basic business statistics: concepts and applications.
7. ed. New Jersey: Prentice-Hall, 1996.
MEYER, R.D.; LIND, D.A. Statistical techniques in business & economics. [s. l.], 1996.
BRASIL.Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais para o ensino fundamental para o segmento de jovens e
adultos. Brasília, DF: MEC, 2002.
CURI, E.; PIRES, C. M. C; PIETROPAOLO, R. C. Educação matemática. São Paulo: Atual,
2002.
D´AMBROSIO,U. Globalização, educação multicultural e etnomatemática. Campinas:
Unicamp, 1986. Texto apresentado na JORNADA DE REFLEXÃO E CAPACITAÇÃO SOBRE
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA, 1986.
PIRES, C. M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São
Paulo: FTD, 2000.
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Educação Matemática em
Revista, São Revista Paulo, v. 7-12, [199?].
conteúdos procedimentais, como a
construção de uma circunferência com
compasso, construção de ângulos com
transferidor.
Ao final do texto, o aluno deverá ser
capaz de organizar e analisar
informações, construir e interpretar
tabelas e gráficos, formular argumentos
convincentes, tendo por base a análise
de dados organizados em
representações matemáticas sobre
situações da realidade brasileira. A
sugestão é que o aluno registre suas
dúvidas em relação às atividades do
texto e, a partir desses registros,
selecione os conceitos/procedimentos
que precisam ser melhor trabalhados
com ajuda do professor.
A proposta é que este texto seja um
roteiro de estudo, possível de ser
ampliado pela consulta de outras fontes
bibliográficas.
Matem∙tica 76-150.pmd 112 11/7/2003, 09:21
113
Explorando situações
numéricas
Cláudio Saiani
Falar de Matemática na Educação de
Jovens e Adultos é um tanto diferente
de tratar da mesma disciplina para
crianças. Permanecem os objetivos de
longo alcance, conforme expressos nos
Parâmetros Curriculares Nacionais: a
matemática desenvolve o raciocínio
lógico, a capacidade de abstrair,
generalizar, transcender o que é
imediatamente sensível (PCN, p. 9).
Por outro lado, lidando com medição,
contagem e técnicas de cálculo, ela é
uma importante ferramenta para tratar
de aspectos práticos da realidade.
Para uma criança, esses aspectos práticos
podem ser direcionados de modo a
introduzi-la no “mundo dos adultos”.
Certas situações são novidade para ela e,
daí, vem seu poder motivador. Ao lidar
com a Educação de Jovens e Adultos,
devemos ter em mente que o estudante já
traz uma bagagem tácita de
conhecimentos e habilidades, diferentes
dos de uma criança e, possivelmente,
dentro de um trajeto distinto daquele que,
em geral é ditado pela educação formal.
No capítulo, focalizamos determinadas
situações retiradas de contextos
diversos da ciência e da tecnologia. A
intenção é dupla. Por um lado,
instrumentalizar o aluno para a leitura
de textos em que compareçam números
que, normalmente, ele não vê em suas
atividades cotidianas. Por outro,
propiciar pretextos para que ele
pesquise sobre conceitos científicos, sua
aplicação e adequação. Em suma,
colaborar para que ele se torne um leitor
do mundo mais proficiente e
competente e para que as fronteiras de
seu mundo se ampliem, de modo a
ultrapassar os limites de seu dia-a-dia.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
A competência deste capítulo se
materializa nas seguintes habilidades:
• Identificar e interpretar estratégias e
situações matemáticas numéricas
aplicadas em contextos diversos da
ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana.
COMPREENDER CONCEITOS, ESTRATÉGIAS E SITUAÇÕES
MATEMÁTICAS NUMÉRICAS PARA APLICÁ-LOS A SITUAÇÕES
DIVERSAS NO CONTEXTO DAS CIÊNCIAS, DA TECNOLOGIA E DA
ATIVIDADE COTIDIANA.
Matemática – Ensino Fundamental
Capítulo IX
Matem∙tica 76-150.pmd 113 11/7/2003, 09:21
114
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
• Construir e identificar conceitos
matemáticos numéricos na
interpretação de fenômenos em
contextos diversos da ciência, da
tecnologia e da vida cotidiana.
• Interpretar informações e aplicar
estratégias matemáticas numéricas na
solução de problemas em contextos
diversos da ciência, da tecnologia e da
vida cotidiana.
• Utilizar conceitos e estratégias
matemáticas numéricas na seleção de
argumentos propostos como solução
de problemas em contextos diversos
da ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana.
• Recorrer a conceitos matemáticos
numéricos para avaliar propostas de
intervenção em contextos diversos da
ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana.
Quando procuramos matemática nos
campos da ciência, da tecnologia e da vida
cotidiana, logo nos deparamos com uma
tal variedade de escolhas que a simples
opção por um conteúdo específico já é
uma tarefa difícil. Por outro lado, se as
aplicações da matemática em qualquer
âmbito já apresentam forte potencial
motivador, muitas vezes os obstáculos
inerentes à própria matemática somam-se
as dificuldades próprias da situação
científica ou tecnológica em foco.
Tendo em vista esse fato, procuramos
abordar conteúdos com aplicações em
vários ramos da ciência (e, também, em
menor grau, da vida cotidiana), de
modo a revelar a aplicabilidade dos
conceitos e estratégias, ao mesmo
tempo, procurando apresentar assuntos
potencialmente passíveis de um
desenvolvimento mais amplo, a critério
do professor. A escolha recaiu sobre a
notação científica, as porcentagens, o
Princípio Fundamental da Contagem e
as probabilidades.
Enfatizamos conceitos e habilidades
numéricas de determinadas situações,
de modo que o estudante pudesse lidar
com elas, prescindindo, por exemplo, de
conhecimentos algébricos, que são
objeto de outro capítulo. Dessa forma, a
resolução de problemas, que apenas se
anuncia nos itens 1 e 2, é assumida
plenamente a partir do item 3.
Procuramos situações com que o aluno
pudesse lidar, utilizando apenas as
quatro operações, privilegiando um
raciocínio aritmético.
As atividades propostas caracterizam-se
pela busca da importância dos números
em aplicações científicas e tecnológicas.
Dessa forma, procuramos ampliar o
leque de situações, mesmo correndo o
risco de apresentar situações não
familiares ao leitor. O que poderia
constituir um obstáculo, no entanto,
pode servir como instrumento em favor
do crescimento do estudante. O fato de
ele conseguir lidar com tais situações,
apenas com seus conhecimentos
matemáticos, reforça o caráter da
matemática como linguagem
unificadora na descrição de fenômenos.
Por outro lado, cada uma das atividades
pode servir como pretexto para uma
pesquisa mais aprofundada, sob
orientação do professor e quem sabe
dentro de um projeto multidisciplinar.
Matem∙tica 76-150.pmd 114 11/7/2003, 09:22
115
Uma vez que o conteúdo do presente
texto necessita apenas das quatro
operações, pode ser utilizado com
proveito a qualquer momento do
desenvolvimento do curso. Sugere-se
sua utilização para trabalhos em grupo,
como instigador de pesquisas
multidisciplinares, em conjunto com as
áreas de Ciências e Geografia, por
exemplo. Por outro lado, as
probabilidades podem lançar uma ponte
para assuntos normalmente abordados
no Ensino Médio, propiciando
interessantes temas para pesquisas
sobre jogos de dados, baralhos e
loterias. É importante ressaltar que os
jogos comparecem, aqui, apenas como
tema de estudos, bem de acordo como
seu importante papel na história da
Matemática.
Dependendo das possibilidades da
escola e da comunidade, o professor
poderá orientar a amplificação dos
temas abordados, mediante a utilização
de livros, jornais, revistas de divulgação
científica e Internet. Mais do que isso,
pode ajudar a desenvolver o hábito de
freqüentar bibliotecas.
BIBLIOGRAFIA
BATSCHELET, E. Introdução à matemática para biocientistas. Rio de Janeiro:
Interferência, 1978. Tradução de Vera Maria Abud Pacífico da Silva e Junia Maria
Penteado de Araújo Quitete.
BELL, E. T. Historia de las matematicas. Mexico, DF: Fondo de Cultura Económica,
1995.
BOLT, B. Matemáquinas: o ponto de encontro da Matemática com a tecnologia.
Lisboa: Gradiva, 1989. Tradução de Leonor Moreira.
BURRELL, B. Guide to everyday math. Springfield: Merriam-Webster, 1998.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. 9. ed. Lisboa: S. Costa,
1989.
COLLINS, W. et al. Mathematics: applications and conections. New York: McGraw Hill,
1998.
COSTA, M. A. As idéias fundamentais da matemática e outros ensaios. 3. ed. São
Paulo: Convívio/Edusp, 1981. (Biblioteca do pensamento brasileiro. Textos, v. 4).
DANTZIG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar. 1970. Tradução
de Sergio Goes de Paula.
GIOVANNI, J. R. et al. Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo:
FTD, 1994.
KARLSON, P. A magia dos números. Porto Alegre: Globo. 1961. il. (Tapete mágico).
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 115 11/7/2003, 09:22
116
Livro do Professor – Matemática Ensino Fundamental
KLINE, M. Matematicas para los estudiantes de humanidades. Mexico, DF: Fondo de
Cultura Económica, 1998.
LARSON, R. et. al. Passport to algebra and geometry. Boston, Mass: McDougall Littel,
1999.
LIPSCHITZ, S. Teoria e problemas de probabilidade: incluindo 500 problemas
resolvidos. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1974. Tradução de Ruth Ribas Itacarali.
OSSERMAN, R. A magia dos números no universo. São Paulo: Mercuryo, 1997.
STEWART, I. Os números na natureza: a realidade irreal da imaginação matemática.
Rio de Janeiro: Rocco, 1996. (Ciência atual. Mestre da Ciência). Tradução de Alexandre
Torto.
Matem∙tica 76-150.pmd 116 11/7/2003, 09:22
Neste bloco, são apresentadas sugestões de trabalho
para que o professor possa orientar-se no sentido de
favorecer aos seus alunos o desenvolvimento das
competências e habilidades que estruturam a avaliação
do ENCCEJA – Matemática e suas Tecnologias –
Ensino Médio. Ensino Médio.
Estes textos complementam o material de orientação de
estudos dos estudantes e ambos podem ganhar seu real
significado se incorporados à experiência do professor e
à bibliografia didática já consagrada nesta área.
Matemática
e suas Tecnologias
Ensino Médio
Capítulos I ao IX
V. Orientação para o trabalho do professor
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119
O capítulo trata de alguns aspectos
ligados à construção do conhecimento
matemático ao longo da história da
humanidade.
A escolha desses aspectos está
intimamente ligada a certas habilidades
que os alunos deverão desenvolver ao
longo da aprendizagem da Matemática.
A idéia central é levá-los a perceber que
a Matemática não foi contruída por essa
ou aquela pessoa, mas sim pela
humanidade como um todo. É claro que,
nesse processo, as pessoas desempenham
papéis diversos como, por exemplo, o
poceiro desejando saber que volume de
terra vai obter ao escavar um poço de
“2m de boca” por “5m de fundura” e o
matemático construindo um
conhecimento que lhe permita
determinar o volume de qualquer
cilindro.
Salientamos ainda que o texto tem
também a intenção de mostrar que o
processo de construção do
conhecimento matemático se
desenvolveu a partir de diferentes
motivações: as questões do dia-a-dia
que a humanidade enfrenta no decorrer
de sua história, as questões propostas
pelos outros campos do conhecimento e
suas próprias
questões internas.
Assim, os exemplos referentes à
construção do conhecimento
matemático para resolver problemas do
cotidiano estão, de certa maneira, mais
diretamente ligados à realidade do
aluno. São exemplos: a troca de uma
certa quantidade de peixes por outra de
aves ou a busca de um modelo que
descreva a despesa do freguês da
padaria.
Por outro lado, as situações propostas
para mostrar o desenvolvimento do
conhecimento matemático a partir de
suas questões internas não são de
modo algum ligadas à realidade do
aluno, ao seu cotidiano. Por exemplo,
não há trocas de mercadorias, nem
compras em supermercados que dêem
conta da questão da criação dos
números complexos! Sua criação e
aceitação dependem muito mais de
questões filosóficas do que de
matemáticas.
A Matemática: uma
construção da humanidade
Suzana Candido
COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO HUMANA,
RELACIONANDO O SEU DESENVOLVIMENTO COM A
TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.
Matemática – Ensino Médio
Capítulo I
Matem∙tica 76-150.pmd 119 11/7/2003, 09:22
120
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Já são um pouco mais concretas as
situações que nos levam aos exemplos
ligados à construção de conceitos e idéias
matemáticas para responder às questões
propostas por outros campos do
conhecimento, como a trigonometria
dando subsídios à arquitetura ou à
geometria fornecendo modelos para a
química.
Essas três motivações, decorrentes dos
problemas que aparecem no cotidiano
do homem, nos outros campos do
conhecimento e nas questões internas
da própria matemática, levaram a
humanidade à construção do
conhecimento matemático; elas
constituem tema de boa parte deste
capítulo e estão de certa maneira
sintetizadas num item final – Usando a
Matemática para modificar o
mundo –, cuja mundo finalidade é modificar o
aluno, levando-o a perceber que ele faz
parte da construção histórica desse
conhecimento para modificar a
realidade à sua volta.
A abordagem metodológica utilizada no
capítulo foi desenvolvida numa
perspectiva da resolução de problemas.
Sempre que possível e conveniente, o
aluno é colocado diante de uma
situação-problema inicial, para que se
defronte com o que sabe a respeito do
assunto ou mesmo comece a se
familiarizar com ele.
A seguir, o texto oferece apoio aos
problemas apresentados, visando à
complementação do que o aluno já
conhece ou à compreensão de conceitos
e procedimentos desconhecidos e
requeridos em sua resolução.
Uma grande parte desses problemas têm
uma resolução descrita no próprio
texto, enquanto que, para outros,
apresentamos apenas a solução na folha
de respostas.
Sempre que possível, também, foram
escolhidos exemplos ligados ao
interesse dos leitores como, por
exemplo, as situações ligadas a
compras, a segurança, a corrupção, à
participação comunitária.
Assim, a sugestão de trabalho com esse
capítulo também tem por base a
resolução de problemas.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
As habilidades a serem desenvolvidas e
o trabalho com este texto levaram em
conta:
• o conhecimento sobre a realidade
em que os alunos do Ensino de
Jovens e Adultos possuem.
• a concepção de ensino e
aprendizagem, que deve estar
consubstanciada na proposta deste
projeto, que, por sua vez, tem por
base as diretrizes dos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio;
• criatividade e a experiência didáticopedagógica do professor;
• a leitura do texto com o qual o
professor poderá criar novas situações
de aprendizagem a serem propostas a
seus alunos, para que possam
desenvolver algumas habilidades,
conferindo a estes jovens ou adultos a
competência maior de compreender compreender
a Matemática como construção
humana, relacionando o
Matem∙tica 76-150.pmd 120 11/7/2003, 09:22
121
desenvolvimento dela com a
tranformação da sociedade. tranformação da sociedade
As habilidades que, no capítulo,
pretendemos que o aluno desenvolva
não são tratadas uma a uma, em uma
seqüência linear; muitas vezes, elas se
misturam, mesmo porque a linha
divisória entre elas é difusa pela sua
própria natureza.
A habilidade de identificar a
Matemática como importante recurso
para a contrução de argumentação, por
exemplo, é desenvolvida em todos os
temas deste texto. Não há como não
construir argumentos matemáticos para
resolver um problema do cotidiano que
envolva idéias matemáticas. Só para
citar dois exemplos:
• logo no início do texto, a
argumentação do pescador e do
caçador exemplifica a utilização de tal
habilidade;
• do mesmo modo, toda vez que o
leitor é solicitado a justificar suas
respostas para os problemas que lhe
são propostos, ele também estará
construindo ou utilizando essa
habilidade, como ocorre, por exemplo,
no quebra-cabeça com 1 unidade a
mais de área; na questão dos gráficos
sobre as demissões por corrupção; na
análise dos moldes da maquete etc.
Muitas outras situações poderão derivar
das apresentadas no texto, no sentido
de levar os alunos a construírem
argumentações válidas e consistentes.
Por exemplo, na contrução de processos
de generalização que acabam por
desembocar na linguagem algébrica
utilizada para descrever funções, é
conveniente levar o aluno a argumentar
antes de generalizar.
Outra habilidade que poderá ser
desenvolvida, a partir do trabalho com
este capítulo, é a de identificar e
interpretar, a partir da leitura de
textos apropriados, diferentes
registros do conhecimento
matemático ao longo do tempo. O matemático ao longo do tempo
próprio texto já se presta a tal
desenvolvimento.
Contamos, ainda, com os textos dos
problemas sobre os quais é possível
desenvolver um trabalho de
interpretação, confrontando, por
exemplo, os vários pontos de vista dos
alunos que lêem o problema. Além disso,
modificar alguma condição ou restrição
dos enunciados, ou mesmo a pergunta de
um problema, proporciona ao aluno a
chance de novas interpretações, bem
como a oportunidade de se defrontar
com novos problemas.
Há, ainda, os textos que envolvem não só a
linguagem simbólico-algébrica, mas
também os que envolvem uma “linguagem
gráfica”, como o da matemática sobre as
demissões por corrupção na polícia civil de
São Paulo. Nesse sentido, os jornais e
revistas fornecem ao professor um material
didático farto, interessante e rico em
significados.
Ainda é possível desenvolver um
trabalho com textos retirados de livros
sobre história da Matemática,
inadequados aos propósitos da
aprendizagem que os alunos estão
desenvolvendo num determinado
momento.
Além das habilidades mencionadas,
V – Orientação para o trabalho do professor
Matem∙tica 76-150.pmd 121 11/7/2003, 09:22
122
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
outras mais podem ser desenvolvidas a
partir do texto:
• reconhecer a contribuição da
Matemática na compreensão e análise
de fenômenos naturais e de produção
tecnológica ao longo da história;
• identificar o recurso matemático
utilizado pelo homem ao longo da
história, para enfrentar e resolver
problemas;
• reconhecer, a partir de textos
apropriados, a importância da
Matemática na elaboração de proposta
de intervenção solidária
na realidade.
As situações no item Usando
matemática para modificar o
mundoexemplificam um tipo de
atividade que pode ser feita com os
alunos para desenvolver essa última
habilidade. A realidade em que eles estão
inseridos e o momento em que esse
trabalho está sendo desenvolvido são
aspectos importantes para subsidiá-los
na escolha dos temas a serem estudados
e das situações a serem modificadas.
Por outro lado, é conveniente propor
aos alunos atividades que os levem a
reconhecer que ferramentas
matemáticas o homem tem utilizado
para resolver problemas.
Nos exemplos discutidos nestas
orientações, bem como nas situações
propostas no capítulo, é possível
reconhecer que a contribuição da
Matemática é essencial para a
compreensão e análise de inúmeros
fenômenos, sejam eles de natureza social,
natural ou tecnológica (as técnicas de
construção de telhados não nos deixam
mentir).
Finalizamos, aqui, nossas
considerações, na certeza de que o
professor desenvolverá um trabalho
significativo com seus alunos, para que
eles possam, antes de mais nada,
adquirir sua própria autonomia
intelectual, pensando e agindo sobre as
questões que enfrentam ao longo de sua
vida, seja no âmbito particular, seja no
âmbito profissional.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnologia.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: ciência da natureza, matemática e
suas tecnologias. Brasília, MEC, 1999. v. 3.
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: E. Blücher, 1996. Tradução de
Elza F. Gomide.
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou tecnologia de explicar e conhecer. São
Paulo: Ática, 1990. (Fundamentos, v. 74).
KARLSON, P. A magia dos números. Rio de Janeiro: Globo, 1961. Tradução de
Henrique Carlos Pfeifer et al.
SMOLE, K. S., DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para
aprender Matemática. Porto Alegre: ArtMed, 2001.
Matem∙tica 76-150.pmd 122 11/7/2003, 09:22
123
Uma das maiores virtudes do ensino da
Matemática consiste em utilizar
conceitos e procedimentos dessa
disciplina para auxiliar o estudante a
ampliar suas formas de raciocínio e
processos mentais, permitindo a ele usar
ferramentas como a dedução e a indução
em situações cada vez mais complexas.
O capítulo sobre o desenvolvimento
dessa competência tem como objetivo
principal apresentar um possível
caminho a ser percorrido pelo leitor para
atingir esse propósito.
Partindo de fatos da vida cotidiana,
como o uso de argumentação que as
pessoas fazem diariamente quando se
relacionam com outras pessoas, chegase à discussão do que significa um
argumento válido em Matemática. Com
isso, pretende-se desenvolver
habilidades, tais como elaborar e
verificar conjecturas, justificar fatos e
conceitos matemáticos e do cotidiano, e
identificar erros provenientes de
processos dedutivos não rigorosos.
O desenvolvimento desse projeto é feito
de maneira a respeitar o perfil do leitor
a que se destina o trabalho, procurandose, sempre que possível, lidar com
situações que não lhe sejam totalmente
estranhas e evitando-se um exagero na
linguagem que possa desmotivar sua
leitura, sem perder o rigor exigido em
um texto matemático.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
As análises de argumentos procuram
sempre partir de fatos do cotidiano, para
aproveitar a experiência do leitor e
envolvê-lo nas discussões. Assim, outros
exemplos relacionados ao grupo
específico com que se trabalha podem
enriquecer bastante a aula.
Paralelamente, porém, são colocadas
situações dentro do contexto
matemático, pois é muito importante que
se faça uma comparação entre o rigor
usado no dia-a-dia e o exigido na
matemática.
Lógica e argumentação:
da prática à Matemática
Fábio Orfali
AMPLIAR FORMAS DE RACIOCÍNIO E PROCESSOS MENTAIS POR
MEIO DE INDUÇÃO, DEDUÇÃO, ANALOGIA E ESTIMATIVA,
UTILIZANDO CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS.
Matemática – Ensino Médio
Capítulo II
Matem∙tica 76-150.pmd 123 11/7/2003, 09:22
124
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Diante desse cenário, são trabalhadas,
de forma mais intensa, habilidades
relacionadas à construção de
argumentação consistente e intervenção
solidária na realidade.
Na atividade 1, é importante que o leitor
perceba que analisar alguns exemplos é
primordial em Matemática, pois isso nos
dá base para formular conjecturas. Essas
conjecturas, porém, precisam ser
demonstradas, o que nem sempre ocorre
nos fatos do cotidiano. Esse aspecto é
reforçado nas atividades 2 e 3: a diferença
entre um fato provável e um fato certo
(pode-se aqui fazer uma ligação com o
estudo de probabilidade e estatística).
Nas atividades 4 e 5, o foco se localiza na
discussão sobre o que é válido concluir a
partir de uma ou mais informações. Essa
discussão pode ser estendida a
interpretações de textos de jornais e
comerciais, incentivando o leitor a
posicionar-se criticamente diante de
certas argumentações mal
fundamentadas.
Os diagramas de Venn são utilizados
nesse ponto como um método para
organização do raciocínio em problemas
envolvendo números de elementos de
diferentes conjuntos. Assim,
habilidades, tais como identificação e
interpretação de conceitos matemáticos
em diferentes formas e aplicação de
estratégias para resolução de equações,
são utilizadas nos problemas. Portanto,
sugere-se, dependendo da turma, que se
faça uma pequena revisão dos tópicos
necessários.
Trata-se, no capítulo, de um conceito
muito importante em argumentações, em
geral, que é a implicação (relação de
causa-efeito). A inversão de uma
implicação constitui-se em uma fonte de
erro comum quando da construção de
argumentos. Por isso, as atividades
devem ser tratadas com bastante
cuidado.
Um exemplo que costuma ser bem
ilustrativo, podendo ser utilizado
durante a explicação do tema, é o
seguinte:
“Se João é paulista, então, João é
brasileiro. Podemos afirmar que se João
é brasileiro, então, João é paulista? Não,
pois ele pode ser carioca, baiano etc.
Mas se João NÃO é brasileiro, então,
João certamente NÃO é paulista.”
Novamente, nas atividades 9 e 10, a
habilidade mais marcante a ser
trabalhada é a construção de
argumentação consistente.
Na atividade 10 (exercício 2), são
utilizados conceitos geométricos que,
dependendo da turma, devem ser
relembrados.
A dedução e a indução são analisadas
com o leitor como importantes
ferramentas do processo de pensamento
matemático e, por extensão, das
ciências em geral. A observação de
determinado comportamento se repete
nas condições consideradas.
As demonstrações de alguns fatos
matemáticos são colocadas de maneira
simples, para que o leitor tenha noções
de sua importância dentro da
Matemática. A ênfase do trabalho não
deve ser, em hipótese alguma,
desenvolver a habilidade de realizar
demonstrações mais complexas
rigorosamente.
Matem∙tica 76-150.pmd 124 11/7/2003, 09:22
125
Assim, nesta parte do trabalho, as
habilidades de utilizar conceitos
matemáticos para explicar fatos do
cotidiano, de construir argumentação
consistente e de identificar conceitos
matemáticos em diferentes formas são
as mais desenvolvidas.
A realização da atividade 12 pode ser
um bom momento para fazer uma
retomada de produtos notáveis, assunto
em que os alunos normalmente
encontram bastante dificuldade.
Durante a atividade 14, outras
seqüências de figuras relacionadas com
números podem ser utilizadas, como a
seqüência dos números triangulares.
Um trabalho mais sistematizado baseado
no raciocínio indutivo é feito no item de
seqüências, no qual novamente são
desenvolvidas habilidades que utilizam
conceitos matemáticos para explicar fatos
do cotidiano e identificar conceitos
matemáticos em diferentes formas, além
de aplicar estratégias para resolver
problemas.
O estudo da notação de seqüências (an)
pode ser uma boa introdução para o
estudo de progressões aritméticas e
geométricas, o que não é feito neste
capítulo (apenas informalmente para as
progressões aritméticas).
BIBLIOGRAFIA
ARANHA, M. L. A.; MARTINS, M. H. P. Filosofando: introdução à filosofia. São Paulo:
Moderna, 1999. v. 1, 2 e 4.
CARRAHER, D. W. Senso crítico: do dia-a-dia às ciências humanas. São Paulo:
Pioneira, 2000. v. 1, 2, 4 e 5.
CARVALHO, M. C. C. S. Padrões numéricos e seqüências. São Paulo: Moderna, 2000. v.
6 e 7.
MACHADO, N. J. Lógica? é lógico! São Paulo: Scipione, 1997.
SOMINSKI, I. S. Método de indução matemática. São Paulo: Atual, 1996.
V – Orientação para o trabalho do professor
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127
CONSTRUIR SIGNIFICADOS E AMPLIAR OS JÁ EXISTENTES PARA
OS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS.
No capítulo, utilizando situaçõesproblema, pretendemos envolver o
leitor em contextos do cotidiano e
mostrar sua relação com a Matemática,
trabalhando as habilidades propostas
para a competência.
Iniciamos com a exploração de um
texto, em que aparecem vários registros
numéricos (números naturais, inteiros,
racionais e irracionais), na intenção de
orientar o leitor na observação das
diferentes escritas relacionadas aos
diferentes números.
Em seguida, propomos situaçõesproblema utilizando esses números e
alguns algoritmos necessários para
resolvê-los. Aproveitamos para
apresentar, nas diferentes situações, a
linguagem matemática, expressa em
textos ou gráficos.
Na seqüência, encaminhamos atividades
com o objetivo de permitir aos
estudantes a percepção de alguns
critérios para a classificação dos
números. Para isso, propomos que
observem as características dos
números naturais, inteiros, racionais e
irracionais, na medida em que os
problemas estão sendo desenvolvidos.
Por meio da discussão de gráficos,
pretendemos indicar o uso dos números
também nessa forma de linguagem.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
Para permitir o desenvolvimento da
habilidade Construir e aplicar conceitos
de números naturais inteiros, racionais
e reais, para explicar fenômenos de
qualquer natureza, propusemos
situações-problema do cotidiano, para
cuja resolução os números naturais não
são suficientes, havendo a necessidade
de se recorrer aos números racionais ou
inteiros, acrescentando-os aos números
naturais, ampliando, assim, o campo
numérico para os estudantes.
De modo a introduzir os números
irracionais, recorremos à Geometria, com
o teorema de Pitágoras, para resolver
problemas, como o da menor distância
entre dois pontos.
Convivendo com
os números
Elynir Maria Garrafa Borges
Matemática – Ensino Médio
Capítulo III
Matem∙tica 76-150.pmd 127 11/7/2003, 09:22
128
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
Sem explorar toda a estrutura dos
campos numéricos, trabalhamos com os
números racionais e irracionais em
situações envolvendo fenômenos de
ordem socioeconômica, e sua aplicação
a problemas em que eles representem a
solução mais adequada.
Para a habilidade Interpretar
informações e operar com números
naturais inteiros, racionais, irracionais e
reais, para tomar decisões e enfrentar
situações–problema, utilizamos a
análise de dados de tabelas e de textos
extraídos de jornais, e propomos
situações-problema para cuja resolução
é necessário operar com os números
naturais e inteiros.
Para os números racionais, propomos
situações-problema, ligadas ao
cotidiano, que enfocam a fração como:
• quociente de dois números;
• relação parte – todo;
• razão.
Exploramos, ainda, a relação de ordem
no conjunto dos números racionais por
meio de comparações entre escritas
numéricas ou de observações de
gráficos.
Os irracionais foram explorados com o
objetivo de que os estudantes
reconheçam a existência desses
números e sua aplicação em problemas
aos quais eles representem a solução
mais adequada.
Para a habilidade Utilizar os números
naturais inteiros, racionais e reais na
construção de argumentos sobre
afirmações quantitativas de qualquer
natureza, apresentamos problemas que
levam o leitor a buscar soluções, usando
comparações numéricas, necessitando
de maior reflexão para poder
argumentar e decidir, apoiando-se em
dados quantitativos.
Para a habilidade Recorrer à
compreensão numérica para avaliar
propostas de intervenção frente a
problemas da realidade, propomos
situações que encaminham o leitor a
avaliar propostas de solução de
problemas da realidade, possibilitando a
percepção de que desconhecer os
números e suas operações impede a
interpretação correta das informações
numéricas às quais está exposto
diariamente, o que dá amplas
possibilidades de ele ser manipulado e
levado a tomar decisões que, na maior
parte das vezes, não o favorecem.
A metodologia para desenvolver as
habilidades é a “resolução de
problemas” proposta nos PCN. Essa
metodologia não significa que o
estudante deva responder a uma lista de
exercícios, usando um modelo, mas sim
a situações desafiadoras nas quais o
professor trabalha com o grupo as
diferentes estratégias de resolução,
aproveitando os conhecimentos prévios
que o estudante tem sobre o assunto.
Dessa forma, o conhecimento vai sendo
construído como resposta a questões
identificadas em situações reais, isto é,
o conteúdo deve ser desenvolvido à
medida que for sendo necessário para a
resolução das situações-problema.
Matem∙tica 76-150.pmd 128 11/7/2003, 09:22
129
Segundo a proposta dos PCN, a
avaliação acontece em processo,
considerando vários instrumentos,
através de situações que possibilitem
avaliar as habilidades desenvolvidas,
bem como as diferentes capacidades e
conteúdos em questão, de modo que o
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais. Brasília, DF: MEC, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 1998.
IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática para todos: novo ensino de Matemática. São
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ISTO É. São Paulo: Abril, n. 1679, 5 dez. 2001.
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TOLEDO, M. Dois e dois. São Paulo: [s.n.], 1997.
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Sites na Internet: www.terravista.pt/ilhadomel/4148/musica.htm – 17k.
Sites na Internet: www.apple.com/br/ibook/music.html – 19k.
Sites na Internet: conhecimentosgerais.hypermart.net/matemática/Geometriaclassica.shtml – 20k.
Sites na Internet: www.terravista.pt/ilhadomel/4148/musica.htm – 17k fração.
Sites na Internet: www.start.com.br/matematica/fracoes.htm – Frações. 7k.
aluno observe as transferências nos
diversos contextos. São fundamentais
os diferentes códigos (verbal, gráfico,
pictórico, numérico), a fim de
considerar as diferentes aptidões como
também as estratégias de resoluções
frente aos problemas da realidade.
V – Orientação para o trabalho do professor
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UTILIZAR O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO PARA REALIZAR A
LEITURA E A REPRESENTAÇÃO DA REALIDADE, E AGIR SOBRE ELA.
A tarefa de planejar um curso de
Geometria para jovens e adultos nos
leva a procurar um ponto de equilíbrio
entre dois extremos:
• realizar um trabalho de cunho
axiomático, em que cada novo
conceito ou propriedade deve estar
relacionado com propriedades e
teoremas anteriores, dando um
encadeamento lógico que permita a
construção do “edifício lógico”
representado por esta disciplina;
• trabalhar fatos e conceitos isolados,
respeitando o interesse e
conhecimento intuitivo que os alunos
possuem, o que acaba por limitar as
possibilidades de um aprofundamento
dos conhecimentos e métodos
geométricos, cerceando o
desenvolvimento e crescimento dos
alunos pela ausência de instrumentos
próprios que lhes permitam enfrentar
situações novas.
A proposta para a área de Ciências da
Natureza, da Matemática e das suas
Tecnologias no Ensino Médio (SEMTEC/
MEC) recomenda que o conhecimento
prévio dos alunos, tema que tem
mobilizado educadores, em especial na
última década, é particularmente
relevante para o aprendizado científico
e matemático. Os alunos chegam à
escola trazendo conceitos próprios para
as coisas por eles observadas e modelos
elaborados autonomamente para
explicar a realidade pessoal vivida,
inclusive para os fatos de interesse
científico. É importante levarem-se em
conta tais conhecimentos, no processo
pedagógico, porque: o efetivo diálogo
pedagógico só se verifica quando há
uma compreensão verdadeira de visões
e opiniões; o aprendizado da ciência é
um processo de transição da visão
intuitiva, de senso comum ou de autoelaboração, pela visão de caráter
científico construída pelo aluno, como
produto do embate de visões.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
Assim, é fundamental que o aluno tenha
oportunidade de exercer sua elaboração
Nossa realidade e as
formas que nos rodeiam
Mariília Barros de A. Toledo
Matemática – Ensino Médio
Capítulo IV
Matem∙tica 76-150.pmd 131 11/7/2003, 09:22
132
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
pessoal apoiada nos seus debates com
colegas e com o professor; nas
experimentações, em que ele possa
verificar a veracidade ou não de
hipóteses por ele desenvolvidas; na
construção de modelos que lhe
permitam avaliar e compreender melhor
as questões apresentadas; na busca do
melhor encaminhamento para a
resolução de um problema.
O capítulo não tem a pretensão de
desenvolver um “curso completo” de
Geometria, mas apenas de apontar
alguns caminhos para os jovens e
adultos que buscam completar seus
estudos de nível médio.
Assim, partindo de questões do
cotidiano, procurou-se levar o estudante
a ter interesse na busca de explicações
para essas questões e para as soluções
que elas podem ter suscitado. Desse
modo, são apresentados alguns
conceitos e propriedades, oferecendo
uma fundamentação teórica adequada
ao nível de conhecimentos esperado
desse estudante.
Procurando aproximar os conceitos
escolares das questões do mundo real,
pretende-se valorizar esses conceitos
como produto de uma construção da
Humanidade, na tentativa de
compreender e atuar em sua realidade.
Desse modo, a utilização da História da
Matemática é um importante recurso,
mostrando, também, como surgiram e se
desenvolveram os diversos conceitos
estudados.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: ensino básico. Matemática. Brasília, DF: MEC, 1998. v. 3.
CÂNDIDO, S. L. Formas num mundo de formas. São Paulo: Moderna, 1997.
IMENES, L. M. Descobrindo o teorema de Pitágoras. São Paulo: Scipione. 1987.
(Vivendo Matemática).
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo:
FTD, 1997.
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133
CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE GRANDEZAS E MEDIDAS
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Esperamos do estudante de nível médio a
compreensão do conceito de medida, bem
como o domínio de habilidades
relacionadas ao cálculo com medidas.
Nesse sentido, o capítulo do estudante
trata, em linhas gerais, dos seguintes
temas: natureza do processo de medida em
uma comparação com determinado padrão
estabelecido; identificação de alguns
atributos mensuráveis de um determinado
objeto; sistemas, processos de medidas;
unidades de medida, submúltiplos e
subdivisões; escalas, plantas e mapas, áreas
e volumes.
Os assuntos citados acima são apresentados
no capítulo do estudante em três
momentos:
1- Breve apresentação de um
determinado assunto – determinado assunto Interessanos aqui que o estudante compreenda
a natureza de uma medida em
comparação com um determinado
padrão estabelecido, que ele reflita
sobre dificuldades inerentes à
utilização de padrões pouco precisos
de medidas e que conheça o Sistema
Internacional de Medidas (SI).
2- Desenvolvendo Competências – 2- Desenvolvendo Competências
Exercícios resolvidos com a devida
contextualização na teoria. Muitas
vezes, a teoria é reelaborada, ou
mesmo, construída ao longo da
resolução de um problema. Algumas
atividades deixam questões em
aberto, para que o estudante
complete o raciocínio desenvolvido
(o gabarito dessas questões se
encontra no final do texto para o
estudante).
3- Sua vez de praticar 3- Sua vez de praticar – Esta seção 3- Sua vez de praticar
conta com testes de múltipla escolha,
para que o estudante pratique o que
aprendeu, simulando uma situação de
prova. Todas as questões desta
atividade têm gabarito disponível ao
final do texto.
O texto para o estudante foi concebido de
tal forma que possa ser consultado com
autonomia por parte do leitor. Contudo,
algumas orientações metodológicas podem
auxiliar o trabalho do professor no dia-adia com o estudante.
Medidas e seus usos
José Luiz Pastore
Matemática – Ensino Médio
Capítulo V
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134
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio Ensino Médio
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
É importante que o leitor desenvolva
competência na conversão de um
sistema de medidas para outro, mas não
é necessário que conheça os fatores de
conversão. Por exemplo, o estudante
deverá estar apto a converter metros
em polegadas (e vice-versa), mas não
precisará decorar que 1 polegada =
2,540 cm (esse tipo de informação
estará disponível no exercício). O
professor deverá sempre respeitar a
forma particular de o aluno conduzir o
raciocínio em um processo de
conversões de medidas ou unidades;
contudo, poderá também sistematizar
procedimentos junto com o estudante,
tais como, regra de três,
proporcionalidade, princípio
multiplicativo etc.
Cabe também ao professor orientar os
estudantes no sentido de que a
utilização correta de subdivisões e
submúltiplos das principais unidades de
medida é pré-requisito para a resolução
de muitos exercícios. Nesse contexto, o
estudante deverá saber, de antemão,
que 1 km = 1000 m , 1 dm = 0,1 m, 1
cm = 0,01 m, 1 mm = 0,001 m, 1 kg =
1000 g, 1 hora = 60 minutos, 1 minuto
= 60 s, 1 litro = 1000 ml.
Em relação ao trabalho com plantas e
mapas, é importante que o professor
insista na discussão sobre a
compreensão do significado de uma
escala e sua aplicação na resolução de
problemas. Em problemas envolvendo
plantas, mapas e outras situações, o
professor deverá trabalhar cálculos de
comprimentos, áreas e volumes; para
tanto, é necessário que motive os
estudantes por meio de situações
práticas, tais como, o cálculo da área
das paredes de uma casa para estimar a
quantidade de tinta necessária para
pintá-las; o volume de água que pode
conter um poço ou um açude etc.
BIBLIOGRAFIA
BUSHAW, D. et al. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais de matemática. Lisboa: Gradiva, 1998.
KENNEDY, E. S. Trigonometria: tópicos de história da matemática para uso em sala de
aula. São Paulo: Atual, 1992.
LIMA, E. L. Medida e forma em geometria: comprimento, área, volume e semelhanças.
Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.
LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.). Aprendendo e ensinando geometria. São
Paulo: Atual, 1994.
MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 1993.
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135
A grandeza no
dia-a-dia
Luci M. Loreto Rodrigues
CONSTRUIR E AMPLIAR NOÇÕES DE VARIAÇÃO DE GRANDEZA
PARA A COMPREENSÃO DA REALIDADE E A SOLUÇÃO DE
PROBLEMAS DO COTIDIANO.
Este capítulo tem como finalidade
subsidiar os estudos de um leitor jovem
ou adulto que não pôde concluir ou
freqüentar o processo escolar. Por isso,
as atividades propostas contemplam as
competências e habilidades e abordam
as idéias matemáticas sobre variação de
grandezas, porcentagem e juros, por
meio de uma linguagem simples,
motivadora e relacionada à realidade,
permitindo que ele possa pensar o seu
cotidiano a partir de diferentes pontos
de vista, incentivando-o a raciocinar,
buscar conhecimentos adquiridos em
suas experiências de vida e encontrar
soluções corretas.
Espera-se que a leitura do capítulo seja
agradável e desperte nesse leitor o
hábito da leitura, da busca de
informações sobre os fatos. E que essas
informações, aliadas aos seus
conhecimentos, lhe permita construir
uma argumentação consistente para que
possa entender, explicar e participar dos
diversos processos que vivencia.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
Construir e ampliar noções de variação
de grandeza para compreensão da
realidade e a solução de problemas do
cotidiano.
Através da análise de situaçõesproblema envolvendo grandezas, buscase aproximar conceitos e realidades,
fazendo com que o leitor perceba que já
utilizava informalmente esses conceitos
matemáticos, e, com isso, construa
conhecimentos com significado e
amplie as noções de variação de
grandeza, para que possa usá-las com
mais confiança na solução de problemas
do cotidiano e na compreensão da
realidade.
Para desenvolver a habilidade –
Identificar grandezas direta e
inversamente proporcionais e
interpretar a notação usual de
porcentagem, apresentam-se situações
simples e contextualizadas em que o
leitor deve analisar e identificar as
grandezas e suas variações e também
Matemática – Ensino Médio
Capítulo VI
Matem∙tica 76-150.pmd 135 11/7/2003, 09:22
136
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
situações que lhe permitam relacionar
sua linguagem diária com a linguagem e
os símbolos matemáticos, como %.
• Comparar grandezas é muito comum
em nosso dia-a-dia. Por isso, é muito
importante saber identificar e avaliar
as variações das grandezas e efetuar
corretamente cálculos matemáticos
para prever resultados. Esses
procedimentos permitem ao leitor
desenvolver a habilidade Identificar e
avaliar variações de grandezas para
explicar fenômenos naturais,
processos socioeconômicos e da
produção tecnológica e obter mais
confiança e consistência para
entender e aplicar esses cálculos em
situações reais.
• Resolver problemas envolvendo
grandezas direta e inversamente
proporcionais e porcentagem é uma
habilidade vista por meio da
apresentação de situações-problema,
envolvendo grandezas direta e
inversamente proporcionais, incluindo
as porcentagens. Enfrentar e resolver
problemas conhecidos ou novos sobre
diferentes situações amplia os
conceitos matemáticos e estabelece
uma ligação entre conceitos e
realidade, facilitando sua
compreensão.
• Identificar e interpretar variações
percentuais de variável
socioeconômica ou técnico-científica
como importante recurso para a
construção de argumentação
consistente é uma habilidade
desenvolvida com a apresentação de
situações-problema presentes no diaa-dia sobre juros simples e compostos,
em que se procura mostrar ao leitor os
conhecimentos necessários para
argumentar, avaliar e decidir com
mais segurança sobre a melhor forma
de pagar uma compra, fazer um
financiamento etc. ou vivenciar e agir
com confiança em situações
semelhantes.
• Analisar situações e avaliar dados e
informações envolvendo porcentagem
e relações entre grandezas
possibilitam ao leitor criar formas de
se posicionar criticamente diante de
uma sociedade regida pelo poder
socioeconômico, bem como formas e
mecanismos de se proteger contra a
propaganda enganosa e os
estratagemas de marketing. Recorrer a
cálculos com porcentagem e relações
entre grandezas proporcionais para
avaliar a adequação de propostas de
intervenção na realidade é uma
habilidade que ajuda a tornar o leitor
um cidadão presente, participativo
dentro da comunidade, com condições
de intervir e lutar por uma sociedade
mais justa e igualitária.
Alguns tópicos foram priorizados:
• Razão e proporção
Os conceitos da razão e proporção e
suas aplicações são retomados com
uma abordagem voltada para o
contexto do aluno do ensino médio.
Exploram-se o significado e sua
aplicação no cotidiano e não as
definições formais e as propriedades.
• Grandezas direta e inversamente
proporcionais e Regra de três simples.
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137
Com situações presentes no cotidiano,
analisou-se e interpretou-se a variação
das grandezas, identificando-as como
grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais. E, com
esses conceitos, resolveram-se
problemas, utilizando a Regra de três.
• Porcentagem
A partir da resolução e da
interpretação de situações cotidianas
que tratam de porcentagem,
exploram-se os conceitos
matemáticos envolvidos no cálculo de
porcentagem.
• Juros simples e composto
A interpretação e resolução de
problemas do dia-a-dia relacionados a
atividades comerciais e financeiras
fornecem ao leitor os conhecimentos
matemáticos sobre juros necessários
para aplicação em situações reais,
como a forma de pagar uma conta e
de fazer um financiamento.
Exploramos os conceitos matemáticos por
meio da análise, interpretação e
resolução de problemas e situações
presentes no cotidiano, pois, quando
conceitos e realidade ficam próximos, o
leitor percebe que já utilizava
informalmente esses conceitos, que
agora passam a adquirir significado e a
serem usados com mais confiança em
novas situações.
Os questionamentos e reflexões
presentes no capítulo exigem do leitor o
exercício do pensamento, da busca de
experiências vividas, com o propósito
de servirem de suporte na organização
dos conhecimentos adquiridos e dos
que estão sendo construídos.
A avaliação deve ser contínua, realizada
a cada instante, fornecendo informações
ao professor sobre os conhecimentos e
habilidades dos alunos e sobre suas
dificuldades. Deve também permitir ao
professor que acompanhe seu trabalho
pedagógico e verifique se os objetivos
traçados estão sendo alcançados.
Podem ser propostos problemas
contextualizados para avaliar o
desenvolvimento das competências e
habilidades presentes no capítulo. A
resolução pode ser feita inicialmente de
forma individual e depois em grupo,
para que os alunos discutam e
comparem os resultados e
procedimentos matemáticos utilizados
na resolução.
Algumas atividades são resolvidas,
comentadas e questionadas com o
leitor, que deve refletir sobre o tema, os
conhecimentos matemáticos que possui
e o modo utilizado na resolução.
As atividades estão divididas em duas
categorias:
1. Questões fechadas, com respostas no
final do capítulo, que devem ser
resolvidas pelo leitor como forma de
verificar seu aprendizado e fixar os
conceitos matemáticos.
2. Questões abertas, sem resposta, que,
de modo geral, levam o leitor à
reflexão, à leitura,à busca de idéias e
argumentações consistentes
permitindo a elaboração de propostas
concretas e solidárias de intervenção
na realidade.
V – Orientação para o trabalho do professor
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138
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
BIBLIOGRAFIA
ALVAREZ, M. T. S. Seu problema é dinheiro? São Paulo: PEC, 2000.
BIGODE, A. J. L. Matemática: hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Educação Matemática.
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 2000.
KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.). A resolução de problemas na matemática escolar. São
Paulo: Atual, 1998. Tradução de Higino H. Domingues e Olga Cordo.
MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação matemática: uma introdução. São Paulo: Educ –
PUC-SP, 1999.
MACEDO, L. de. Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento
de competências e aprendizagem escolar. [s.n.t.].
IMENES, L. M.; JAKUBO, J.; LELLIS, M. Matemática: novas questões para avaliação e
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______. Proporções. Ilustrações de Cecília Iwashita. 11. ed. São Paulo: Atual, 1992.
(Para que serve a Matemática?).
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo. Sociedade Brasileira de
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São Paulo: Scipione, 1998. (Investigação Matemática). Tradução de Antonio Carlos
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ZAMPIROLO, M. J. C. As razões da Matemática. São Paulo: PEC, 2000.
______. Quantos por cento? São Paulo: PEC: Ed. do Brasil, 2000.
______. O que é, o que é. São paulo: PEC: Ed. do Brasil, 2000.
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Sites na Internet: www.desenvolvimento.gov.br/progacoes/PAB
Sites na Internet: www.nib.unicamp.br/svol
Sites na Internet: http://www.educ.fc.ul.pt/
Sites na Internet: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/matdinhe.html
Sites na Internet: http://www.mat-no-sec.org/criar/propor/proporcionalidade.htm
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139
A proposta do capítulo para o estudante
é, através de textos que explorem fatos
do cotidiano, despertar no leitor a
curiosidade para descobrir leis
matemáticas simples que estão por trás
das pequenas coisas do dia-a-dia e
motivá-lo a conhecê-las para explicar
melhor o mundo a seu redor.
Juntamente com a aplicação dessas leis,
é preocupação permanente do texto
mostrar o papel generalizador que têm
os procedimentos matemáticos,
preocupando-se, constantemente, em
fazer analogias para mostrar que
problemas de contextos muito
diferentes podem ser resolvidos por
ferramentas matemáticas muito
parecidas.
A busca dessa “lei” ou modelo
matemático que está por trás dos fatos
que analisamos no dia-a-dia é a tônica
da atividade do capítulo, que tenta
mostrar ao leitor que seu conhecimento
o tornará crítico, melhor capacitado a
compreender o mundo à sua volta e a
fazer suas próprias análises e
interpretações das informações que
recebe a cada instante, não se
restringindo a recebê-las interpretadas
ou manipuladas por terceiros.
O tema central do texto é conduzir o
leitor a desenvolver a competência de
aplicar expressões analíticas para
modelar e resolver problemas,
envolvendo variáveis socioeconômicas
ou técnico-científicas.
Para atingir esse objetivo, as atividades
são graduadas segundo um conjunto de
habilidades que devem ser
desenvolvidas e constituem as etapas de
que se compõe o trabalho.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
O capítulo inicia propondo situações
muito simples em que o leitor é
conduzido a identificar e interpretar
representações analíticas associadas a
fatos do cotidiano ou a figuras
geométricas, como os pontos e as retas,
dentro de situações contextualizadas e a
fazer analogias entre essas
APLICAR EXPRESSÕES ANALÍTICAS PARA MODELAR E
RESOLVER PROBLEMAS, ENVOLVENDO VARIÁVEIS
SOCIOECONÔMICAS OU TÉCNICO-CIENTÍFICAS.
A Matemática
por trás dos fatos
Wilson Roberto Rodrigues
Matemática – Ensino Médio
Capítulo VII
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140
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
representações de modo a perceber o
caráter generalizador que a modelagem
matemática pode conferir à resolução
dos problemas.
Na fase seguinte, convida-se o leitor a
interpretar ou aplicar os modelos
identificados, associando-os a novos
problemas contextualizados. As
aplicações envolvem o uso de
procedimentos algébricos simples como
equações algébricas, inequações e
sistemas lineares, objetivando a
compreensão dos fenômenos descritos
nas situações propostas. Espera-se que,
ao final desta fase, o estudante esteja
apto a estabelecer as relações que
possibilitem que ele próprio crie os
modelos matemáticos.
Vencida essa etapa, novas situações são
apresentadas ao leitor, entregando
agora a ele a tarefa de modelar e aplicar
os modelos obtidos na resolução de
equações e inequações.
Nas fases seguintes, privilegia-se mais
ainda o contexto. As situaçõesproblema propostas encaminham o
leitor a dar mais ênfase à interpretação e
à utilização dos resultados, procurando
motivá-lo a usar os conceitos
trabalhados como ferramentas,
argumentar de maneira segura e
consistente e também de avaliar a
adequação de propostas de intervenção
na realidade. Em última análise, busca a
construção de elementos que o ajudarão
a se transformar num indivíduo
autônomo, crítico e mais preparado para
exercer em plenitude sua cidadania.
As situações-problema trabalhadas
envolvem a manipulação de ferramentas
algébricas básicas, os conceitos de
função linear, função afim, coordenadas
cartesianas no plano e equação da reta,
embora não seja objetivo da obra tratar
esses conteúdos de maneira formal, mas
usá-los como elementos que fortaleçam
procedimentos mentais que permitam
associar leis matemáticas a descrições
de fatos, gráficos ou tabelas, sempre na
direção da competência e das
habilidades.
A proposta de trabalho com situaçõesproblema consiste, basicamente, na
criação de uma situação didática que o
aprendiz não pode realizar sem agregar
uma nova aprendizagem, e essa
aprendizagem se constitui no
verdadeiro objetivo da atividade.
Ela deve ser vista como um desafio para
o aluno que formulará hipóteses e
conjecturas para sua resolução. A
necessidade de transpor o obstáculo
proposto o levará a elaborar ou se
apropriar coletivamente dos
instrumentos intelectuais necessários
141
perceba que essas leis estão presentes
em nosso cotidiano. No item
“Matemática ao sair de casa”, criou-se
uma situação geométrica que conduz,
de maneira contextualizada, à idéia de
coordenadas cartesianas, como
preparação para a busca das leis
matemáticas em situações geométricas,
o que é feito no item “viajando com as
coordenadas”.
Uma vez obtidas essas leis, o item
“tabela, gráfico ou lei matemática” tenta
levar ao leitor a idéia de que situações
muito diferentes como a compra do pão
ou a descrição de uma trajetória num
mapa são descritos por ferramentas
matemáticas muito parecidas, como
expressões do tipo y=kxou retas
passando pela origem, instigando-o a
fazer uso desse caráter generalizador
que têm os procedimentos matemáticos.
As atividades seguintes se valem dessas
generalizações para que o aluno
desenvolva as competências através de
problemas que exploram temas como
economia de energia, propostas de
emprego, problemas ambientais, crítica
a leituras, educação para o consumo,
dentre outros.
Como proposta ao professor para
aprofundamento do tema, sugerimos a
criação de situações que envolvam a
exploração de gráficos com
comportamento linear extraídos de
publicações, em que o aluno tenha a
oportunidade de fazer interpolações e
extrapolações para argumentar ou
responder a questões referentes ao
contexto. O uso da calculadora
permitirá que se construam situações
mais realistas, para vencer o obstáculo
dos cálculos demorados. Um trabalho
mais personalizado pode até conduzir à
construção de uma regra prática para
obter a equação de uma reta a partir de
seu gráfico. O desenvolvimento dessas
ferramentas adicionais não deve perder
de vista, porém, que esse trabalho só
tem sentido se direcionado para a
construção das habilidades a que o
texto se propõe.
Nas atividades de avaliação, o professor
deve estar atento ao fato de que o
conteúdo, embora presente no trabalho,
não deve ser o objeto da avaliação, mas
a ferramenta para o desenvolvimento
das habilidades. As provas devem
continuar proporcionando ao aluno
oportunidades de aprender, por
questões bem formuladas e instigantes
que requeiram análise, compreensão e
tomadas de decisão.
Embora não seja uma tarefa fácil
elaborar questões com essas
características, o esforço em investir
nelas certamente será compensador,
pois estaremos criando também, com
essas atividades, mais oportunidades de
crescimento.
V – Orientação para o trabalho do professor
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142
Livro do Professor – Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio
BIBLIOGRAFIA
CÂNDIDO, S. L. Quando a álgebra e a geometria se encontram. São Paulo: Ed. do
Brasil, 2000.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Educação Matemática.
MACEDO, L. de. Situação-problema: forma e recurso de avaliação, desenvolvimento
de competências e aprendizagem escolar.
MACHADO, S. D. A. (Org.). Educação matemática: uma introdução. São Paulo: Ed.
PUC-SP, 1999.
KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São
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REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade Brasileira de
Matemática.
ZAMPIROLLO, M. J. C. Não saia da linha. São Paulo: Ed. do Brasil, 2000.
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143
Procuramos mostrar para o aluno que os
gráficos e tabelas são encontrados no
cotidiano das pessoas com o intuito de
facilitar atividades rotineiras ou
transmitir informações de forma
sintetizada.
Como nosso público alvo é de jovens e
adultos, acreditamos que atividades
elaboradas a partir de conhecimentos
adquiridos no dia a dia serão grandes
aliadas para o envolvimento,
participação, compreensão e interesse
dos leitores.
As situações-problema pretendem
propiciar o desenvolvimento da leitura e
interpretação de gráficos e tabelas, além
de propiciar a manipulação desses
dados, criar uma argumentação
consistente e intervir na realidade,
utilizando as informações lidas e
interpretadas de gráficos e tabelas.
Para o desenvolvimento dessa
competência, é fundamental que os
estudantes desenvolvam um conjunto
de habilidades. Essas habilidades que
podem ser interpretadas como um
“saber fazer” que levam a um “saber
ser” perpassam pelas atividades, sendo a
aquisição delas o objetivo das
situações-problema propostas.
Discutiremos a seguir as habilidades.
DESENVOLVENDO A
COMPETÊNCIA
Utilizamos os primeiros capítulos para
desenvolver a habilidade, Reconhecer e
interpretar as informações de natureza
científica ou social expressas em gráficos
ou tabelas, propondo situações nas
quais o leitor faz inferências durante a
leitura, localizando dados em tabelas e
gráficos. Trabalhamos com valores
discretos e contínuos, levando o
estudante a fazer aproximações e
interpolações. Como as situações
propostas podem ser encontradas no
cotidiano, acreditamos que o estudante
venha a utilizar um procedimento
próprio de solução para depois,
apresentarmos nosso modo de
resolução, com a sugestão de que
compare com o que foi pensado por ele.